吉林省长春市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-07-05 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $- (- 2)$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 据报道，我省今年前4个月货物贸易进出口总值为52860 000 000元人民币，比去年同期增长28.2%．其中52860000 000这个数用科学记数法表示为（）

A、 $0.5286 \times 10^{11}$ B、 $5.286 \times 10^{10}$ C、 $52.86 \times 10^{9}$ D、 $5286 \times 10^{7}$

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3. 如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（）

A、圆锥 B、长方体 C、球 D、圆柱

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4. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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5. 如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米， $∠ A = α$ ，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（）

A、 $30 \sin α$ 米 B、 $\frac{30}{\sin α}$ 米 C、 $30 \cos α$ 米 D、 $\frac{30}{\cos α}$ 米

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6. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，BC是 $⊙ O$ 的切线，若 $∠ B A C = 35 °$ ，则 $∠ A C B$ 的大小为（）

A、 $35 °$ B、 $45 °$ C、 $55 °$ D、 $65 °$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B \neq A C$ ．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D ，使 $△ A C D$ 为等腰三角形．下列作法错误的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象上，x过点A作x轴的垂线，与函数 $y = - \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点C ，连结BC交x轴于点D ．若点A的横坐标为1， $B C = 3 B D$ ，则点B的横坐标为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $2$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $3$

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二、填空题

9. 分解因式：a²+2a= ．

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10. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x > - 1 ， \\ x ⩽ 1 \end{array}$ 的所有整数解是．

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11. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上， $B C // E F$ ，则 $∠ A D E$ 的大小为度．

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12. 如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA的长度为200米，圆心角 $∠ A O B = 90 °$ ，则这段铁轨的长度米，（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）

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13. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的斜边OA在y轴上， $O A = 2$ ，点B在第一象限．标记点B的位置后，将 $△ A O B$ 沿x轴正方向平移至 $△ A_{1} O_{1} B_{1}$ 的位置，使 $A_{1} O_{1}$ 经过点B ，再标记点 $B_{1}$ 的位置，继续平移至 $△ A_{2} O_{2} B_{2}$ 的位置，使 $A_{2} O_{2}$ 经过点 $B_{1}$ ，此时点 $B_{2}$ 的坐标为．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (2 ， 4)$ 在抛物线 $y = a x^{2}$ 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B ，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为．

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三、解答题

15. 先化简，再求值： $(a + 2) (a - 2) + a (1 - a)$ ，其中 $a = \sqrt{5} + 4$ ．

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16. 在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数字不同外其余均相同，小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率．

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17. 为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同，求每千克有机大米的售价为多少元？

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18. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ， $A C = 4$ ， $B D = 8$ ，点E在边AD上， $A E = \frac{1}{3} A D$ ，连结BE交AC于点M ．

(1)、求AM的长．

(2)、 $\tan ∠ M B O$ 的值为．

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19. 稳定的粮食产量是人民幸福生活的基本保障．为了解粮食产量情况，小明查阅相关资料得到如下信息：长春市2020年的粮食总产量达到960万吨，比上年增长约9%，其中玉米产量增长约12%，水稻产量下降约2%，其他农作物产量下降约10%．

（注：以上数据中粮食产量均精确到万吨）

根据以上信息回答下列问题：

(1)、2020年玉米产量比2019年玉米产量多万吨．

(2)、扇形统计图中n的值为．

(3)、计算2020年水稻的产量．

(4)、小明发现如果这样计算2020年粮食总产量的年增长率： $\frac{12 % + (- 2 %) + (- 10 %)}{3} = 0$ ，就与2020年粮食总产量比上年增长约9%不符．请说明原因．

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20. 图①、图②、图③均是 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M ，按下列要求作图：

(1)、在图①中，连结MA、MB ，使 $M A = M B$ ．

(2)、在图②中，连结MA、MB、MC ，使 $M A = M B = M C$ ．

(3)、在图③中，连结MA、MC ，使 $∠ A M C = 2 ∠ A B C$ ．

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21. 《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水查流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
（实验观察）实验小组通过观察，每2小时记录次箭尺读数，得到下表：

供水时间x（小时）

0

2

4

6

8

箭尺读数y（厘米）

6

18

30

42

54

(1)、（探索发现）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x ．纵轴表示箭尺读数y ，描出以表格中数据为坐标的各点．

(2)、观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．

(3)、（结论应用）应用上述发现的规律估算：
供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？

(4)、如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）

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22. 实践与探究

(1)、操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD ，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M ，折痕为AE ，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF ，则 $∠ E A F =$ 度．

(2)、操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N ．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则 $∠ A E F =$ 度．

(3)、在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
设AM与NF的交点为点P．求证 $△ A N P ≌ △ F N E$ ：．

(4)、若 $A B = \sqrt{3}$ ，则线段AP的长为．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $B C = 3$ ，点D为边AC的中点．动点P从点A出发，沿折线AB—BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结PD ．作点A关于直线PD的对称点 $A^{'}$ ，连结 $A^{'} D$ 、 $A^{'} A$ ．设点P的运动时间为t秒．

(1)、线段AD的长为．

(2)、用含t的代数式表示线段BP的长．

(3)、当点 $A^{'}$ 在 $△ A B C$ 内部时，求t的取值范围．

(4)、当 $∠ A A^{'} D$ 与 $∠ B$ 相等时，直接写出t的值．

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24. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = 2 {(x - m)}^{2} + 2 m$ （m为常数）的顶点为A ．

(1)、当 $m = \frac{1}{2}$ 时，点A的坐标是，抛物线与y轴交点的坐标是．

(2)、若点A在第一象限，且 $O A = \sqrt{5}$ ，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围．

(3)、当 $x \leq 2 m$ 时，若函数 $y = 2 {(x - m)}^{2} + 2 m$ 的最小值为3，求m的值．

(4)、分别过点 $P (4 ， 2)$ 、 $Q (4 ， 2 - 2 m)$ 作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N ．当抛物线 $y = 2 {(x - m)}^{2} + 2 m$ 与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C ，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值．

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供水时间x（小时）	0	2	4	6	8
箭尺读数y（厘米）	6	18	30	42	54