黑龙江省齐齐哈尔市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-07-05 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 实数2021的相反数是（）

A、2021 B、 $- 2021$ C、 $\frac{1}{2021}$ D、 $- \frac{1}{2021}$

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2. 下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $\pm \sqrt{16} = \pm 4$ B、 ${(3 m^{2} n^{3})}^{2} = 6 m^{4} n^{6}$ C、 $3 a^{2} \cdot a^{4} = 3 a^{8}$ D、 $3 x y - 3 x = y$

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4. 喜迎建党100周年，某校将举办小合唱比赛，七个参赛小组人数如下：5，5，6，7，x ， 7，8．已知这组数平均数是6，则这组数据的中位数（）

A、5 B、5.5 C、6 D、7

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5. 把直尺与一块三角板如图放置，若 $∠ 1 = 47 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $43 °$ B、 $47 °$ C、 $133 °$ D、 $137 °$

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6. 某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间，出发时油箱中有40升油，到乙地后发现油箱中还剩4升油．则油箱中所剩油y（升）与时间t（小时）之间函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（）

A、7个 B、8个 C、9个 D、10个

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8. 五张不透明的卡片，正面分别写有实数 $- 1$ ， $\sqrt{2}$ ， $\frac{1}{15}$ ， $\sqrt{9}$ ，5.06006000600006……（相邻两个6之间0的个数依次加1）．这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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9. 周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和消精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（）

A、3种 B、4种 C、5种 D、6种

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10. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 $(1 ， 0)$ ，对称轴为 $x = - 1$ ，结合图象给出下列结论：

① $a + b + c = 0$ ；

② $a - 2 b + c < 0$ ；

③关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两根分别为-3和1；

④若点 $(- 4 ， y_{1})$ ， $(- 2 ， y_{2})$ ， $(3 ， y_{3})$ 均在二次函数图象上，则 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ ；

⑤ $a - b < m (a m + b)$ （m为任意实数）．

其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 7（毫米²），这个数用科学记数法表示为．

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12. 如图， $A C = A D$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ，要使 $△ A B C ≌ △ A E D$ ，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）

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13. 一个圆锥的底面圆半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为 cm．

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14. 若关于x的分式方程 $\frac{3 x}{x - 1} = \frac{m}{1 - x} + 2$ 的解为正数，则m的取值范围是．

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15. 若直角三角形其中两条边的长分别为3，4，则该直角三角形斜边上的高的长为．

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16. 如图，点A是反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x} (x < 0)$ 图象上一点， $A C ⊥ x$ 轴于点C且与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (x < 0)$ 的图象交于点B ， $A B = 3 B C$ ，连接OA ， OB ，若 $△ O A B$ 的面积为6，则 $k_{1} + k_{2} =$ ．

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17. 如图，抛物线的解析式为 $y = x^{2}$ ，点 $A_{1}$ 的坐标为 $(1 ， 1)$ ，连接 $O A_{1}$ ：过A₁作 $A_{1} B_{1} ⊥ O A_{1}$ ，分别交y轴、抛物线于点 $P_{1}$ 、 $B_{1}$ ：过 $B_{1}$ 作 $B_{1} A_{2} ⊥ A_{1} B_{1}$ ，分别交y轴、抛物线于点 $P_{2}$ 、 $A_{2}$ ；过 $A_{2}$ 作 $A_{2} B_{2} ⊥ B_{1} A_{2}$ ，分别交y轴、抛物线于点 $P_{3}$ 、 $B_{2}$ …：按照如此规律进行下去，则点 $P_{n}$ （n为正整数）的坐标是．

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三、解答题

18.

(1)、计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 2} + {(π - 3.14)}^{0} + 4 \cos 45 ° - | 1 - \sqrt{2} |$ ．

(2)、因式分解： $- 3 x y^{3} + 12 x y$ ．

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19. 解方程： $x (x - 7) = 8 (7 - x)$ ．

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20. 某中学数学兴趣小组为了解本校学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生只选一类并且没有不选的），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题：

(1)、本次抽样调查的样本容量是；

(2)、请补全条形图；

(3)、扇形图中， $m =$ ，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是；

(4)、若该中学有1800名学生，那么该校喜欢新闻类节目的学生大约有多少人？

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21. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E ， AE与⊙O相交于点F ，连接AC ．

(1)、求证：AC平分 $∠ E A B$ ；

(2)、若 $A E = 12$ ， $\tan ∠ C A B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ．求OB的长．

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22. 在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

(1)、请写出甲的骑行速度为米/分，点M的坐标为；

(2)、求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；

(3)、请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等．

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23. 综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．

折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF ，连接EF ，如图1．

(1)、 $∠ E A F =$ $°$ ，写出图中两个等腰三角形：（不需要添加字母）；

(2)、转一转：将图1中的 $∠ E A F$ 绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q ，连接PQ ，如图2．
线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为；

(3)、连接正方形对角线BD ，若图2中的 $∠ P A Q$ 的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N ．如图3，则 $\frac{C Q}{B M} =$ ；

(4)、剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．

求证： $B M^{2} + D N^{2} = M N^{2}$ ．

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24. 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点A、B ，与y轴交于点C ，连接BC ， $O A = 1$ ，对称轴为 $x = 2$ ，点D为此抛物线的顶点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、抛物线上C ， D两点之间的距离是；

(3)、点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE ．求 $△ B C E$ 面积的最大值；

(4)、点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q ，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．

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