黑龙江省大庆市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-07-05 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 在 $π$ ， $\frac{1}{2}$ ， $- 3$ ， $\frac{4}{7}$ 这四个数中，整数是（）

A、 $π$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 3$ D、 $\frac{4}{7}$

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2. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 北京故宫的占地面积约为720 000m² ，将720 000用科学记数法表示为（）.

A、72×10⁴ B、7.2×10⁵ C、7.2×10⁶ D、0.72×10⁶

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4. 下列说法正确的是（）

A、 $| x | < x$ B、若 $| x - 1 | + 2$ 取最小值，则 $x = 0$ C、若 $x > 1 > y > - 1$ ，则 $| x | < | y |$ D、若 $| x + 1 | \leq 0$ ，则 $x = - 1$

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5. 已知 $b > a > 0$ ，则分式 $\frac{a}{b}$ 与 $\frac{a + 1}{b + 1}$ 的大小关系是（）

A、 $\frac{a}{b} < \frac{a + 1}{b + 1}$ B、 $\frac{a}{b} = \frac{a + 1}{b + 1}$ C、 $\frac{a}{b} > \frac{a + 1}{b + 1}$ D、不能确定

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6. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ ，当 $x < 0$ 时，y随x的增大而减小，那么一次的数 $y = - k x + k$ 的图像经过第（）

A、一，二，三象限 B、一，二，四象限 C、一，三，四象限 D、二，三，四象限

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7. 一个儿何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能符合题意表示该几何体的主视图的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，F是线段 $C D$ 上除端点外的一点，将 $△ A D F$ 绕正方形 $A B C D$ 的顶点A顺时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ A B E$ ．连接 $E F$ 交 $A B$ 于点H．下列结论正确的是（）

A、 $∠ E A F = 120 °$ B、 $A E ： E F = 1 ： \sqrt{3}$ C、 $A F^{2} = E H \cdot E F$ D、 $E B ： A D = E H ： H F$

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9. 小刚家2019年和2020年的家庭支出如下，已知2020年的总支出2019年的总支出增加了2成，则下列说法正确的是（）

A、2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的1.4倍； B、2020年衣食方面的支出比2019年衣食方面的支出增加了10%； C、2020年总支出比2019年总支出增加了2%； D、2020年其他方面的支出与2019年娱乐方面的支出相同．

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10. 已知函数 $y = a x^{2} - (a + 1) x + 1$ ，则下列说法错误的个数是（）
①若该函数图象与 $x$ 轴只有一个交点，则 $a = 1$

②方程 $a x^{2} - (a + 1) x + 1 = 0$ 至少有一个整数根

③若 $\frac{1}{a} < x < 1$ ，则 $y = a x^{2} - (a + 1) x + 1$ 的函数值都是负数

④不存在实数a，使得 $a x^{2} - (a + 1) x + 1 \leq 0$ 对任意实数x都成立

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

11. $\sqrt{{(- 2)}^{4}} =$

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12. 已知 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} \neq 0$ ，则 $\frac{x^{2} + x y}{y z} =$

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13. 一个圆柱形橡皮泥，底面积是 $12 c m^{2}$ ．高是 $5 c m$ ．如果用这个橡皮泥的一半，把它捏成高为 $5cm$ 的圆锥，则这个圆锥的底面积是 $c m^{2}$

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14. 如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有个交点

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15. 三个数3， $1 - a ， 1 - 2 a$ 在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为

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16. 如图，作 $⊙ O$ 的任意一条直经 $F C$ ，分别以 $F ､ C$ 为圆心，以 $F O$ 的长为半径作弧，与 $⊙ O$ 相交于点 $E ､ A$ 和 $D ､ B$ ，顺次连接 $A B ， B C ， C D ， D E ， E F ， F A$ ，得到六边形 $A B C D E F$ ，则 $⊙ O$ 的面积与阴影区域的面积的比值为；

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17. 某酒店客房都有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共间；

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18. 已知，如图1，若 $A D$ 是 $△ A B C$ 中 $∠ B A C$ 的内角平分线，通过证明可得 $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C D}$ ，同理，若 $A E$ 是 $△ A B C$ 中 $∠ B A C$ 的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在 $△ A B C$ 中， $B D = 2 ， C D = 3 ， A D$ 是 $△ A B C$ 的内角平分线，则 $△ A B C$ 的 $B C$ 边上的中线长 $l$ 的取值范围是

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三、解答题

19. 计算 $| \sqrt{2} - 2 | + 2 \sin 45 ° - {(- 1)}^{2}$

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20. 先因式分解，再计算求值： $2 x^{3} - 8 x$ ，其中 $x = 3$ ．

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21. 解方程： $\frac{x}{2 x - 3} + \frac{5}{3 - 2 x} = 4$

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22. 小明在A点测得C点在A点的北偏西 $75 °$ 方向，并由A点向南偏西 $45 °$ 方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西 $45 °$ 方向，继续向正西方向行走 $2km$ 后到达D点，测得C点在D点的北偏东 $22.5 °$ 方向，求 $A ， C$ 两点之间的距离．（结果保留 $0 .1km$ ，参数数据 $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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23. 如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度 $y (cm)$ 与注水时间 $x (min)$ 之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题：

(1)、图②中折线 $E D C$ 表示槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段 $A B$ 表示槽中水的深度与注入时间之间的关系；铁块的高度为 $cm$ ．

(2)、注入多长时间，甲､乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程）

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24. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ，点E为线段 $A B$ 的三等分点（靠近点A），点F为线段 $C D$ 的三等分点（靠近点C，且 $C E ⊥ A B$ ．将 $△ B C E$ 沿 $C E$ 对折， $B C$ 边与 $A D$ 边交于点G，且 $D C = D G$ ．

(1)、证明：四边形 $A E C F$ 为矩形；

(2)、求四边形 $A E C G$ 的面积．

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25. 某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩（成绩均为整数，单位：分）如下：
甲：92，95，96，88，92，98，99，100

乙：100，87，92，93，9▆，95，97，98

由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清，

(1)、求甲成绩的平均数和中位数；

(2)、求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率；

(3)、当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛．

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26. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与y轴的正半轴交于点A，与反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图像交于 $P ， D$ 两点．以 $A D$ 为边作正方形 $A B C D$ ，点B落在x轴的负半轴上，已知 $△ B O D$ 的面积与 $△ A O B$ 的面积之比为 $1 ： 4$ ．

(1)、求一次函数 $y = k x + b$ 的表达式：

(2)、求点P的坐标及 $△ C P D$ 外接圆半径的长．

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27. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径． $B C$ 是 $⊙ O$ 的弦，弦 $E D$ 垂直 $A B$ 于点F，交 $B C$ 于点G．过点C作 $⊙ O$ 的切线交 $E D$ 的延长线于点P

(1)、求证： $P C = P G$ ；

(2)、判断 $P G^{2} = P D \cdot P E$ 是否成立？若成立，请证明该结论；

(3)、若G为 $B C$ 中点， $O G = \sqrt{5}$ ， $\sin B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $D E$ 的长．

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28. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于除原点 $O$ 和点 $A$ ，且其顶点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点坐标为 $(2 ， 1)$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线 $y = - 2$ 的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；

②过点F的直线l与抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 交于 $M ， N$ 两点．证明：当直线l绕点F旋转时， $\frac{1}{M F} + \frac{1}{N F}$ 是定值，并求出该定值；

(3)、点 $C (3 ， m)$ 是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点 $P ， Q$ ，使四边形 $P Q B C$ 周长最小，直接写出 $P ， Q$ 的坐标．

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