福建省2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-07-05 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 在实数 $\sqrt{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ，0，-1中，最小的数是（）

A、-1 B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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2. 如图所示的六角螺栓，其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得 $∠ A = 60 ° ， ∠ C = 90 ° ， A C = 2 km$ .据此，可求得学校与工厂之间的距离 $A B$ 等于（）

A、 $2km$ B、 $3km$ C、 $2 \sqrt{3} km$ D、 $4km$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $2 a - a = 2$ B、 ${(a - 1)}^{2} = a^{2} - 1$ C、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ D、 ${(2 a^{3})}^{2} = 4 a^{6}$

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5. 某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：

项目

作品

甲

乙

丙

丁

创新性

实用性

如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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6. 某市2018年底森林覆盖率为63%.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（）

A、 $0.63 (1 + x) = 0.68$ B、 $0.63 {(1 + x)}^{2} = 0.68$ C、 $0.63 (1 + 2 x) = 0.68$ D、 $0.63 {(1 + 2 x)}^{2} = 0.68$

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7. 如图，点F在正五边形 $A B C D E$ 的内部， $△ A B F$ 为等边三角形，则 $∠ A F C$ 等于（）

A、 $108 °$ B、 $120 °$ C、 $126 °$ D、 $132 °$

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8. 如图，一次函数 $y = k x + b (k > 0)$ 的图象过点 $(- 1 ， 0)$ ，则不等式 $k (x - 1) + b > 0$ 的解集是（）

A、 $x > - 2$ B、 $x > - 1$ C、 $x > 0$ D、 $x > 1$

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9. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点P在 $A B$ 的延长线上， $P C ， P D$ 与 $⊙ O$ 相切，切点分别为C，D.若 $A B = 6 ， P C = 4$ ，则 $\sin ∠ C A D$ 等于（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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10. 二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + c (a > 0)$ 的图象过 $A (- 3 ， y_{1}) ， B (- 1 ， y_{2}) ， C (2 ， y_{3}) ， D (4 ， y_{4})$ 四个点，下列说法一定正确的是（）

A、若 $y_{1} y_{2} > 0$ ，则 $y_{3} y_{4} > 0$ B、若 $y_{1} y_{4} > 0$ ，则 $y_{2} y_{3} > 0$ C、若 $y_{2} y_{4} < 0$ ，则 $y_{1} y_{3} < 0$ D、若 $y_{3} y_{4} < 0$ ，则 $y_{1} y_{2} < 0$

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二、填空题

11. 若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象过点 $(1 ， 1)$ ，则k的值等于.

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12. 写出一个无理数x，使得 $1 < x < 4$ ，则x可以是（只要写出一个满足条件的x即可）

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13. 某校共有1000名学生.为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取100名学生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图.根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是.

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14. 如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线.若 $∠ B = 90 ° ， B D = \sqrt{3}$ ，则点D到 $A C$ 的距离是.

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15. 已知非零实数x，y满足 $y = \frac{x}{x + 1}$ ，则 $\frac{x - y + 3 x y}{x y}$ 的值等于.

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， A D = 5$ ，点E，F分别是边 $A B ， B C$ 上的动点，点E不与A，B重合，且 $E F = A B$ ，G是五边形 $A E F C D$ 内满足 $G E = G F$ 且 $∠ E G F = 90 °$ 的点.现给出以下结论：
① $∠ G E B$ 与 $∠ G F B$ 一定互补；

②点G到边 $A B ， B C$ 的距离一定相等；

③点G到边 $A D ， D C$ 的距离可能相等；

④点G到边 $A B$ 的距离的最大值为 $2 \sqrt{2}$ .

其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

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三、解答题

17. 计算： $\sqrt{12} + | \sqrt{3} - 3 | - {(\frac{1}{3})}^{- 1}$ .

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是边 $B C$ 上的点， $D E ⊥ A C ， D F ⊥ A B$ ，垂足分别为E，F，且 $D E = D F ， C E = B F$ .求证： $∠ B = ∠ C$ .

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19. 解不等式组： ${\begin{array}{l} x \geq 3 - 2 x ① \\ \frac{x - 1}{2} - \frac{x - 3}{6} < 1 ② \end{array}$

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20. 某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元.

(1)、已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？

(2)、经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%.现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？

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21. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ .线段 $E F$ 是由线段 $A B$ 平移得到的，点F在边 $B C$ 上， $△ E F D$ 是以 $E F$ 为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在 $A C$ 的延长线上.

(1)、求证： $∠ A D E = ∠ D F C$ ；

(2)、求证： $C D = B F$ .

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22. 如图，已知线段 $M N = a ， A R ⊥ A K$ ，垂足为a.

(1)、求作四边形 $A B C D$ ，使得点B，D分别在射线 $A K ， A R$ 上，且 $A B = B C = a$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $C D // A B$ ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)、设P，Q分别为（1）中四边形 $A B C D$ 的边 $A B ， C D$ 的中点，求证：直线 $A D ， B C ， P Q$ 相交于同一点.

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23. “田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒.该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马 $A_{1} ， B_{1} ， C_{1}$ ，田忌也有上、中、下三匹马 $A_{2} ， B_{2} ， C_{2}$ ，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下： $A_{1} > A_{2} > B_{1} > B_{2} > C_{1} > C_{2}$ （注： $A > B$ 表示A马与B马比赛，A马获胜）.一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利.面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（ $C_{2} A_{1} ， A_{2} B_{1} ， B_{2} C_{1}$ ）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例.
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：

(1)、如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；

(2)、如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率.

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24. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E，F为边 $A B$ 上的两个三等分点，点A关于 $D E$ 的对称点为 $A^{'}$ ， $A A^{'}$ 的延长线交 $B C$ 于点G.

(1)、求证： $D E // A^{'} F$ ；

(2)、求 $∠ G A^{'} B$ 的大小；

(3)、求证： $A^{'} C = 2 A^{'} B$ .

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25. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴只有一个公共点.

(1)、若抛物线过点 $P (0 ， 1)$ ，求 $a + b$ 的最小值；

(2)、已知点 $P_{1} (- 2 ， 1) ， P_{2} (2 ， - 1) ， P_{3} (2 ， 1)$ 中恰有两点在抛物线上.
①求抛物线的解析式；

②设直线l： $y = k x + 1$ 与抛物线交于M，N两点，点A在直线 $y = - 1$ 上，且 $∠ M A N = 90 °$ ，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和于点B，C.求证： $△ M A B$ 与 $△ M B C$ 的面积相等.

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