河南省十所名校2020-2021学年高中文数毕业班阶段性测试试卷

试卷更新日期：2021-07-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {y | y = 1 - x^{2}}$ ， $N = {x | | 2 x - 1 | \geq 1 - 2 x}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1]$ D、 $(- \infty ， 1]$

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2. 复数 $z = \frac{1 - 2 i}{3 + i}$ 的共轭复数对应的点在复平面内的（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 如图所示的圆盘的三条直径把圆分成六部分，往圆盘内任投一飞镖（大小忽略不计），则飞镖落到阴影部分内的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4. 已知命题 $p$ ： $\exists x \in R$ ，使得 $e^{- x} + 1 = \sin x$ ；命题 $q$ ：若 $x$ ， $y \in R$ ，且 $x > | y |$ ，则 $x^{2} > y^{2}$ ．下列命题为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $(\neg p) \land q$ C、 $p \land (\neg q)$ D、 $p \lor (\neg q)$

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5. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，且满足 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ， $| \vec{a} | \cos θ = - 2$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、-4 B、-6 C、-7 D、-8

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6. 已知 $α \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ ，且 $3 \cos 2 α + 8 \sin α + 5 = 0$ ，则 $\cos α =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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7. 若函数 $f (x) = 3 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图象过点 $M (\frac{2 π}{3} ， - 3)$ ，直线 $x = \frac{2 π}{3}$ 向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后恰好经过 $f (x)$ 上与点 $M$ 最近的零点，则 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 上的单调递增区间是（）

A、 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{6}]$ B、 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ C、 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6}]$ D、 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$

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8. 一个多面体的正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，如图所示， $E$ ， $F$ 是所在边的中点，则该多面体的表面积为（）

A、 $5 + \frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $5 + \frac{\sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{18 + \sqrt{6}}{4}$ D、 $3 + \sqrt{6}$

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9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，直线 $l$ 过 $F$ 点与一条渐近线垂直，原点到 $l$ 的距离等于虚轴的长，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{5}{4}$

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10. 拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上满足以下条件：①在 $[a ， b]$ 上图象连续，②在 $(a ， b)$ 内导数存在，则在 $(a ， b)$ 内至少存在一点 $c$ ，使得 $f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a)$ （ $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数）．则函数 $f (x) = x e^{x - 1}$ 在 $[0 ， 1]$ 上这样的 $c$ 点的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a = 3$ ， $c = 2$ ， $B = 2 C$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{15}}{2}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $\frac{3 \sqrt{15}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$

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12. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $M$ ， $N$ 为抛物线上的两点（与坐标原点不重合）， $M A ⊥ l$ 于 $A$ ， $N B ⊥ l$ 于 $B$ ，已知 $M N$ 的中点 $D$ 的坐标为 $(2 ， 1)$ ， $△ A B F$ 与 $△ M N F$ 的面积比为 $2 ： 1$ ，则 $p$ 的值为（）

A、4 B、3 C、1 D、1或 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x - 1} - 2 (x \leq 1) ， \\ \log_{\frac{1}{2}} (x + 1)) (x > 1) ， \end{array}$ 则 $f (x)$ 的最大值为．

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14. 执行如图所示的程序框图，输出的 $S =$ ．

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15. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 2 \geq 0 ， \\ x + 2 y + 2 \geq 0 ， \\ 2 x + y - 2 < 0 ， \end{array}$ ，则 $z = 3 x - y$ 的取值范围为．

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16. 在平面四边形 $P A C B$ 中，已知 $∠ A P B = 120 °$ ， $P A = P B = 2 \sqrt{3}$ ， $A C = 10$ ， $B C = 8$ ．沿对角线 $A B$ 折起得到四面体 $P - A B C$ ，当 $P A$ 与平面 $A B C$ 所成的角最大时，该四面体的外接球的半径为．

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三、解答题

17. 已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{4}$ 成等比数列， $2 a_{3}$ ，10， $a_{4}$ 成等差数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，令 $b_{n} = \frac{1}{S_{n}}$ ，设数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 1$ ．

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18. 为提高空气质量，缓解交通压力，某市政府推行汽车尾号单双号限行．交通管理部门推出两个时间限行方案，方案A：早晨六点到夜晚八点半限号；方案B：早晨七点到夜晚九点限号．现利用手机问卷对600名有车族进行民意考察，考察其对A ， B方案的认可度，并按年龄段统计，22~40岁为青年人，41~60岁为中年人，人数分布表如下：

年龄段	$[22 ， 30]$	$[31 ， 40]$	$[41 ， 50]$	$[51 ， 60]$
人数	180	180	160	80

现利用分层抽样从上述抽取的600人中再抽取30人，进行深入调查，

(1)、若抽取的青年人与中年人中分别有12人和5人同意执行B方案，其余人同意执行A方案，完成下列

2 \times 2

列联表，并判断能否有90%的把握认为年龄层与是否同意执行方案A有关；

	同意执行A方案	同意执行B方案	总计
青年		12
中年		5
总计			30

(2)、若从同意执行B方案的4个青年人和2个中年人中，随机抽取3人进行访谈，求抽取的3人中青、中年都有的概率．

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

参考数据：

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C = \sqrt{3}$ ， $A B = 1$ ， $A A_{1} = A C = 2$ ， $E$ 为棱 $A A_{1}$ 的中点， $O$ 为 $B E$ 上一点．

(1)、证明： $C O ⊥ B_{1} E$ ；

(2)、求 $C$ 到平面 $B E C_{1}$ 的距离．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，椭圆的右焦点与右顶点及上顶点构成的三角形面积为 $\sqrt{2} - 1$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程．

(2)、已知直线 $y = k (x - 1)$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若点 $Q$ 的坐标为 $(\frac{7}{4} ， 0)$ ，问：是否存在 $k$ ，使得 $\vec{Q A} \cdot \vec{Q B} > 1$ ？若存在，求出 $k$ 的取值范围；不存在，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{x} - a - 2 \ln x (a \in R)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $[1 ， 2)$ 上存在单调递减区间，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $- 2 < a < 0$ 时，证明：对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ， $\frac{a^{2}}{2 (x - a)} < \ln (x - a) - \ln x$ 恒成立．

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22. 在直角坐标系中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + t \sin (\frac{π}{2} + σ) ， \\ y = 4 - t \cos (σ - \frac{π}{2}) \end{array}$ （其中： $t$ 为参数， $σ$ 为常数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \cos θ + 2 \sin θ$ ，射线 $l_{0}$ 的极坐标方程为 $θ = α (0 < α < \frac{π}{4})$ ，射线 $l_{0}$ 与曲线 $C$ 交于 $O$ ， $M$ 两点．

(1)、写出当 $σ = π$ 时 $l$ 的极坐标方程以及曲线 $C$ 的参数方程；

(2)、在（1）的条件下，若射线 $l_{0}$ 与直线 $l$ 交于点 $N$ ，求 $\frac{| O M |}{| O N |}$ 的取值范围．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 3 | + | x + \frac{1}{2} |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \leq 4 x + 7$ 的最小整数解 $m$ ；

(2)、在（1）的条件下，对任意 $a$ ， $b \in (- m ， + \infty)$ ，若 $a + b = 4$ ，求 $W = \frac{b^{2}}{a - 1} + \frac{a^{2}}{b - 1}$ 的最小值．

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