贵州省贵阳市2021届高三理数适应性考试试卷

试卷更新日期：2021-07-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知U是全集，若集合A满足 $A \cap (∁_{U} B) = \emptyset$ ，则（）

A、 $A \cup B = A$ B、 $A \cap B = B$ C、 $A \cap B = \emptyset$ D、 $A \cup B = B$

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2. 已知复数 $1 + i$ 是关于x的方程 $x^{2} + p x + 2 = 0 (p \in R)$ 的根，则 $p =$ （）

A、2 B、-2 C、1 D、-1

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3. 已知 $\sin (\frac{π}{4} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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4. 如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 设 $x \in R$ ，则“ $x > 1$ ”是“ $x^{2} + 1 \geq 2 x$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 经数学家证明：“在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为 $l (l \leq a)$ 的针任意掷在这个平面上，此针与平行线中任一条相交的概率为 $p = \frac{2 l}{π a}$ （其中 $π$ 为圆周率）”某试验者用一根长度为2cm的针，在画有一组间距为3cm平行线所在的平面上投掷了n次，其中有120次出现该针与平行线相交，并据此估算出 $π$ 的近似值为 $\frac{10}{3}$ ，则 $n =$ （）

A、300 B、400 C、500 D、600

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7. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差为3，若 $a_{2}$ ， $a_{1} + a_{3}$ ， $a_{6}$ 成等比数列，则 $S_{5} =$ （）

A、9或13 B、13 C、15或35 D、35

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8. 如图为函数 $f (x)$ 的部分图象，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $\frac{e^{| x |}}{2 x^{2} - 2}$ B、 $\frac{\cos x}{2 x^{2} - 2}$ C、 $\frac{\sin x}{2 x^{2} - 2}$ D、 $\frac{\ln (| x | + e)}{2 x^{2} - 2}$

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9. 若 $e < a < b$ （e为然对数的底数），则 $a^{b}$ ， $b^{a}$ ， $\log_{b} a$ 的大小关系为（）

A、 $a^{b} < b^{a} < \log_{b} a$ B、 $b^{a} < a^{b} < \log_{b} a$ C、 $\log_{b} a < a^{b} < b^{a}$ D、 $\log_{b} a < b^{a} < a^{b}$

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10. 根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双自线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点，若从点 $F_{2}$ 发出的光线经双曲线右支上的点 $A (x_{0} ， 2)$ 反射后，反射光线为射线AM，则 $∠ F_{2} A M$ 的角平分线所在的直线的斜率为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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11. 已知 $△ A B C$ ， $\vec{A M} = 3 \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = 3 \vec{A C}$ ，点 $P$ 是四边形 $B C N M$ 内（含边界）的一点，若 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C} (x ， y \in R)$ ，则 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2}$ 的最大值与最小值之差为（）

A、12 B、9 C、 $\frac{25}{2}$ D、 $\frac{17}{2}$

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12. 在平面内，已知动点P与两定点A，B的距离之比为 $λ (λ > 0 ， λ \neq 1)$ ，那么点P的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} A ⊥$ 平面ABC， $A B = B C = 2$ ， $B B_{1} = \sqrt{2} π$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，点M为AB的中点，点P在三棱柱内部或表面上运动，且 $| P A | = \sqrt{2} | P M |$ ，动点P形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为 $V_{1}$ ， $V_{2} (V_{1} < V_{2})$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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二、填空题

13. ${(x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项是：． (请用数字作答)

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14. 已知函数 $f (x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x + \frac{1}{3} \sin 3 x$ ，给出下列四个命题：
① $2 π$ 是函数 $f (x)$ 的一个周期； ②函数 $f (x)$ 的图象关于原点对称；

③函数 $f (x)$ 的图象过点 $(π ， 0)$ ； ④函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的单调函数.

其中所有真命题的序号是.

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15. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点 $N (4 ， 0)$ ，直线l过F且交C于A，B两点，若以NF为直径的圆交l于点M（异于F），且M是AB中点，则线段MF的长为.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n} \cdot a_{n + 1} = \frac{n}{n + 2}$ ，则 $a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot \dots \cdot a_{2 n - 2} \cdot a_{2 n - 1} \cdot a_{2 n} =$ .

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三、解答题

17. 如图所示，在平面四边形ABCD（A，C在线段BD异侧）中， $∠ B A D = \frac{π}{6}$ ， $∠ B C D = \frac{π}{2}$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 4$ .

(1)、求BD的长；

(2)、请从下面的三个问题中任选一个作答：（作答时用笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框填涂）
①求四边形ABCD的面积的取值范围；

②求四边形ABCD的周长的取值范围；

③求四边形ABCD的对角线AC的长的取值范围.

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18. 据报道，2019年全球进行了102次航天发射，发射航天器492个.中国以34次航天发射蝉联榜首，美国、俄罗斯分列第二和第三位.
2019年全球发射的航天器按质量 $m$ （单位： $kg$ ）可分为六类：Ⅰ类（ $0 \leq m < 50$ ），Ⅱ类（ $50 \leq m < 200$ ），Ⅲ类（ $200 \leq m < 500$ ），Ⅳ类（ $500 \leq m < 1000$ ），Ⅴ类（ $1000 \leq m < 5000$ ），Ⅵ类（ $m \geq 5000$ ），其中Ⅰ类航天器仍然保持较高的话跃度，但整体的发射热度相较2018年有所降低，发射数量仍以较大优势排名榜首，总数达到191个，占比下降到 $38.8 %$ ；而Ⅱ类和Ⅲ类航天器由于低轨宽带星座部署改变，发射卫星数量均实现大幅增长.根据2019年全球发射航天器数量按质量分类得到如图的饼形图：

假设2021年全球共计划发射500个航天器，且航天器数量按质量分布比例与2019年相同.

(1)、利用该饼状图，估计2021年发射的航天器中Ⅳ类，Ⅴ类，Ⅵ类的个数；

(2)、由（1）的计算，采用分层抽样的方法，从Ⅳ类，Ⅴ类，Ⅵ类这三类中抽取9个航天器.根据研究需要，要从这9个航天器中随机抽取3个航天器作研究，设这3个航天器来自这三类航天器的类别种数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及其期望.

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19. 如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是棱 $A B$ ， $A D$ 的中点， $G$ 为棱 $D D_{1}$ 上的动点.

(1)、当 $G$ 是 $D D_{1}$ 的中点时，判断直线 $B C_{1}$ 与平面 $E F G$ 的位置关系，并加以证明；

(2)、若直线 $D D_{1}$ 与平面 $E F G$ 所成的角为 $30 °$ ，求锐二面角 $D_{1} - E F - G$ 的余弦值.

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20. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，C的短轴长为2，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，直线 $l ： x = m y + n$ 交椭圆于点A，B.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设C的左右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，直线 $A A {}_{1}$ ， $B A_{2}$ 的斜率分别是 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $k_{2} = 2 k_{1}$ ，试问直线l是否过定点？并证明你的结论.

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21. 已知曲线 $f (x) = x e^{x} - \frac{2}{3} a x^{3} - a x^{2}$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 有三个极值点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，求实数 $a$ 的取值范围，并证明： $0 < f (x_{2}) < \frac{e}{6}$ .

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = r \cos α ， \\ y = r \sin α . \end{array}$ （ $0 < r < 2$ ，a为参数）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2} ： ρ^{2} = 4 \cos 2 θ$ （如图所示）.

(1)、若 $r = \sqrt{2}$ ，求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程并求曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的直角坐标；

(2)、已知曲线 $C_{2}$ 既关于原点对称，又关于坐标轴对称，且曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交于不同的四点A，B，C，D，求矩形ABCD面积的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - m | + 2 | x + 1 |$ .

(1)、若 $m = 2$ ，求不等式 $f (x) \leq 5$ 的解集；

(2)、 $\forall x_{1} \in R$ ， $\exists x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，使得 $f (x_{1}) - 3 \geq x_{2} + \frac{4}{x_{2}}$ ，求实数m的取值范围.

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