贵州省毕节市2021届高三上学期理数诊断性考试试卷

试卷更新日期：2021-07-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {(x ， y) | x^{2} + y^{2} \leq 3 ， x \in Z ， y \in Z} ， B = {(x ， y) | y = x} ，$ 则A∩B中的元素个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 设复数z满足 $(\sqrt{3} - i) z = 2 i$ (i为虚数单位)，则|z|=（）

A、4 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、1

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3. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）

A、若m $//$ n，n⊥α，α $//$ β，则m⊥β B、若 $m ⊥ β ， n ⊥ β ， n ⊥ α ，$ 则m⊥α C、若m⊥α，m $//$ n，n $//$ β，则α⊥β D、若 $m ⊥ n ， m \subset α ， n \subset β$ ，则α⊥β

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4. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 3 x - y + 1 \geq 0 \\ x + 2 y - 2 \leq 0 ， \\ 4 x + y - 8 \leq 0 \end{array}$ 则z=x+y的最大值为（）

A、1 B、2 C、5 D、6

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5. 袋子中装有大小相同的2个红球和2个白球，不放回地依次从袋中取出两球，则取出的两球同色的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 函数 $f (x) = e^{x} + x^{2} - 2 x$ 的图象在点(0，f(0))处的切线方程为（）

A、x+y-1=0 B、x+y+1=0 C、2x+y+1=0 D、2x+y-1=0

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7. 在矩形ABCD中， $A B = \sqrt{2} ，$ BC=2，点F在CD边上，若 $\vec{A B} \cdot \vec{A F} = \sqrt{2} ，$ 则 $(\vec{A B} + \vec{A C}) \cdot \vec{B F} =$ （）

A、0 B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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8. 宋元时期我国数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的"垛积术”，其中"落一形"就是以下所描述的三角锥垛，三角锥垛从上到下最上面是1个球，第二层是3个球，第三层是6个球，第四层是10个球，...，则这个三角锥垛的第十五层球的个数为（）

A、91 B、105 C、120 D、210

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9. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - k x - 2 y = 0$ 和圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 2 k y - 2 = 0$ 相交，则圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 的公共弦所在的直线恒过的定点为（）

A、(2，2) B、(2，1) C、(1，2) D、(1，1)

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10. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - k x - 2 y = 0$ 和圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 2 k y - 2 = 0$ 相交，则圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 的公共弦所在的直线恒过的定点为（）

A、(2，2) B、(2，1) C、(1，2) D、(1，1)

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11. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点，过点 $F_{1}$ 的直线l与C的一条渐近线交于点P，若 $P F_{2} ⊥ x$ 轴，且点 $F_{2}$ 到l的距离为2a，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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12. 若 $e^{a} + \ln a = e^{\sqrt{b}} + \frac{1}{2} \ln (e b)$ (e为自然对数的底数)，则（）

A、 $a^{2} > b$ B、2a>b C、 $a^{2} < b$ D、2a<b

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二、填空题

13. 若一组数据 $3 x_{1} - 1 ， 3 x_{2} - 1 ， \dots ， 3 x_{8} - 1$ 的平均数为8，则另一组数据 $x_{1} ， x_{2} ， \dots x_{8}$ 的平均数为.

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14. 已知圆锥的底面直径为2，侧面展开图为半圆，则圆锥的体积为.

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15. 已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上一点A到x轴的距离为m，到直线x+2y+8=0的距离为n，则m+n的最小值为.

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16. 已知函数 $f (x) = | e^{| x |} - 2 |$ ，关于x的方程 ${[f (x)]}^{2} + b f (x) + b^{2} - 1 = 0$ 恰有5个不同实数解，则实数 $b =$ .

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三、解答题

17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 $(\sqrt{3} c - a) \sin A = c \sin C - b \sin B$ .

(1)、求角B的大小；

(2)、求 $\cos C + \sin B + \sqrt{3} \cos A$ 的取值范围.

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18. 毕节市2020届高三年级第一次诊考结束后，随机抽取参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图(如图)：

(1)、根据频率分布直方图，求x的值并估计全市数学成绩的中位数；

(2)、从成绩在[70，80)和[120，130)的学生中根据分层抽样抽取3人，再从这3人中随机抽取两人作某项调查，求这两人中恰好有1人的成绩在[70，80)内的概率.

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19. 如图，D是以AB为直径的半圆O上异于A，B的点，△ABC所在的平面垂直于半圆O所在的平面，且 $A C = \sqrt{5} ，$ AB=2BC=2.

(1)、证明：AD⊥DC；

(2)、若 $C D = \sqrt{2} ，$ 求二面角 $D - A C - B$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3} ，$ 经过点P(0，1)与椭圆C的右顶点的直线斜率为 $- \frac{\sqrt{3}}{6} .$

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点P且与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点N，使得 $\vec{N A} \cdot \vec{N B} = 0$ 恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c (b ， c \in R)$ .

(1)、讨论函数f(x)的单调性；

(2)、是否存在b，c，使得f(x)在区间[-1，0]上的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出b，c的所有值；若不存在，请说明理由.

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22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 3 - \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ (t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ + 4 \cos θ = 0.$

(1)、写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)、已知点P(-3，0)，直线l与曲线C交于A，B两点，△APO，△BPO的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，求|S₁-S₂|的值.

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23. 已知函数f(x)=2|x-4|+|x+5|，设f(x)的最小值为m.

(1)、求m的值；

(2)、若正实数a，b，c满足a+2b+3c=m，证明： $9 (a^{3} + \frac{b^{3}}{2} + \frac{c^{3}}{3}) \geq {(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2} .$

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