广西桂林市、崇左市2021届高三理数5月份第二次联考试卷

试卷更新日期：2021-07-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 1 < x < 1}$ ， $B = {x | x^{2} - x \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x \leq 0}$ B、 ${x | - 1 \leq x \leq 0}$ C、 ${x | 0 \leq x < 1}$ D、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(i - 2) z = i + 1$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- \frac{1}{5} - \frac{3}{5} i$ B、 $- \frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$ C、 $\frac{1}{5} - \frac{3}{5} i$ D、 $\frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$

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3. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + 1 \geq 0 ， \\ y - 2 \leq 0 ， \\ 2 x - y - 2 \leq 0 ， \end{array}$ 则 $z = x + y$ 的最大值是（）

A、-5 B、1 C、2 D、4

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4. 已知α∈(0, $\frac{π}{2}$ )，2sin2α=cos2α+1，则sinα=（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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5. 设两组数据分别为 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{9}$ 和 $x_{2} ， x_{3} ， \dots ， x_{8}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} \dots < x_{8} < x_{9}$ ，则这两组数据相比，不变的数字特征是（）

A、中位数 B、极差 C、方差 D、平均数

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6. 函数 $f (x) = \lg \frac{1 + \sin x}{\cos x} (x \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}))$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. $(2 x - 1) {(x + 2)}^{3}$ 的展开式中 $x^{2}$ 项的系数为（）.

A、24 B、18 C、12 D、4

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8. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位： cm²）为（）

A、32 B、36 C、40 D、48

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n}_{+ 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ，则数列 ${a_{n} a_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} =$ （）

A、 $\frac{n}{2 n - 1}$ B、 $\frac{n}{2 n + 1}$ C、 $\frac{2 n}{2 n + 1}$ D、 $\frac{n}{4 n + 2}$

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10. 已知椭圆 $C$ 的两个焦点分别为 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ，过 $F_{2}$ 的直线与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．若 $| A F_{2} | = 2 | F_{2} B |$ ， $| A B | = \frac{3}{2} | A F_{1} |$ ，则椭圆 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

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11. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的四个顶点在球 $O$ 的球面上， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = A B = B C = 2$ ， $P B$ 与平面 $P A C$ 所成的角为 $30 °$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $6 π$ B、 $12 π$ C、 $16 π$ D、 $48 π$

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12. 若函数 $f (x) = \frac{1}{2} e^{2 x} - m e^{x} - \frac{m}{2} x^{2}$ 有两个极值点，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(\frac{e}{2} ， + \infty)$ D、 $(e ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 4 ， 1)$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ .

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14. 若等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{3} = 2$ ， $a_{2} - a_{4} = 6$ ，则 $a_{6} =$ ．

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15. 过 $F (\sqrt{a^{2} + b^{2}} ， 0)$ 作与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ 的两条渐近线平行的直线，分别交两渐近线于A、B两点，若 $O A F B$ 四点共圆（为坐标原点），则双曲线的离心率为．

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16. 已知函数 $f (x) = | \ln (x - 1) |$ ， $f (a) > f (b)$ ，以下命题：
①若 $a > 2$ ，则 $a > b$ ；

②若 $a > b$ ，则 $a > 2$ ；

③若 $a > 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} < 1$ ；

④若 $a > 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > 1$ ．

其中正确的序号是．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 所对的边的长， $a = \sqrt{7}$ ， $c = 1$ ， $\sin A + \sqrt{3} \cos A + 1 = 0$ ．

(1)、求 $b$ ；

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 边上一点，且 $A D ⊥ A B$ ，求 $△ A C D$ 的面积．

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18. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是边长为2的正方形， $A A_{1} = 4$ ，点 $E$ ， $F$ ， $M$ ， $N$ 分别为棱 $C C_{1}$ ， $B C$ ， $B B_{1}$ ， $A A_{1}$ 的中点．

(1)、求证：平面 $B_{1} D_{1} E ⊥$ 上平面 $C_{1} M N$ ；

(2)、若平面 $A F M \cap$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} = l$ ，求直线 $l$ 与平面 $B_{1} D_{1} E$ 所成角的正弦值．

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19. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $E (- 1 ， 0)$ ，圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $B E$ 与抛物线交点为 $D$ .

(1)、求证：直线 $A D$ 过焦点 $F$ ；

(2)、过 $F$ 作直线 $M N ⊥ A D$ ，交抛物线 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，求四边形 $A N D M$ 面积的最小值.

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20. 十三届全国人大常委会第二十次会议审议通过的《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度．某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组”，已知甲乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分为 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ． $p_{1} = \frac{3}{4} p_{1}$

(1)、若 $p_{1} = \frac{3}{4}$ ， $p_{2} = \frac{2}{3}$ ，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；

(2)、当 $p_{1} + p_{2} = \frac{6}{5}$ ，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”的次数为9次，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？

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21. 已知函数 $f (x) = x \ln \frac{x}{a} (a > 0)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数．

(1)、设 $g (x) = f^{'} (x) - \frac{\ln a}{2} x^{2}$ ，讨论函数 $g (x)$ 的单调性；

(2)、若点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ $(x_{1} < x_{2})$ 均在函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象上，设直线AB的斜率为k，证明： $\frac{1}{x_{2}} < k < \frac{1}{x_{1}}$ ．

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22. 数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线 $C$ ： $ρ = \sin 3 θ$ （ $ρ \in R$ ， $θ \in [0 ， 2 π)$ ）被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）．

(1)、求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；

(2)、射线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的极坐标方程分别为 $θ = θ_{0}$ ， $θ = θ_{0} + \frac{π}{2}$ （ $θ_{0} \in [0 ， 2 π)$ ， $ρ > 0$ ）， $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交曲线 $C$ 于点 $M$ ， $N$ 两点，求 $\frac{1}{{| O M |}^{2}} + \frac{1}{{| O N |}^{2}}$ 的最小值．

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23. 已知函数 $f (x) = 2 | x + 1 | - | x - 2 |$ .

(1)、解不等式： $f (x) \leq 7$ ；

(2)、已知实数 $x_{0}$ 满足：对 $\forall x \in R$ 都有 $f (x) \geq f (x_{0})$ ，若 $a$ ， $b$ ， $c \in R^{+}$ 且 $a + b + c + f (x_{0}) = 0$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c}$ 最小值.

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