广东省佛山市五校联盟2021届高三模拟5月数学考试试卷

试卷更新日期：2021-07-05 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设 $A = {x ∣ x^{2} - 4 x + 3 \leq 0}$ ， $B = {x ∣ \ln (3 - 2 x) < 0}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 $(- \infty ， \frac{3}{2})$ B、 $(1 ， \frac{3}{2})$ C、 $(1 ， 3]$ D、 $(\frac{3}{2} ， 3]$

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2. 在复数范围内方程 $x^{2} + 3 = 0$ 的解为（）

A、 $- \sqrt{3} i$ B、 $\sqrt{3} i$ C、 $\pm \sqrt{3} i$ D、 $\pm \sqrt{3}$

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3. 在全球新冠肺炎疫情仍在流行的背景下，我国新冠病毒疫苗研发取得可喜进展，已有多款疫苗获批使用.目前我国正在按照“应接尽接、梯次推进、突出重点、保障安全”的原则，积极组织实施疫苗接种，稳步提高疫苗接种人群覆盖率.小王想从甲、乙、丙、丁四位好友中，随机邀请两位一起接种新冠病毒疫苗，则甲和乙中至少有一人被邀请的概率是（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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4. 2020年10月27日，在距离长江口南支航道0.7海里的风机塔上，东海航海保障中心上海航标处顺利完成临港海上风电场AIS（船舶自动识别系统）基站的新建工作，中国首个海上风机塔AIS基站宣告建成.已知风机的每个转子叶片的长度为20米，每两个叶片之间的夹角相同，风机塔（杆）的长度为60米，叶片随风转动，假设叶片与风机塔在同一平面内，如下图所示，则 $| \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O M} |$ 的最小值为（）

A、40 B、 $20 \sqrt{7}$ C、 $20 \sqrt{10}$ D、80

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5. 函数f (x)＝ $(\frac{2}{1 + e^{x}} - 1)$ ·sin x的图象的大致形状为（）

A、 B、 C、 D、

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6. $\sin 40^{\circ} (\tan 10^{\circ} - \sqrt{3}) =$ （）

A、2 B、－2 C、1 D、－1

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7. 过双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上一点 $P$ 作双曲线 $C$ 的切线 $l$ ，若直线 $O P$ 与直线 $l$ 的斜率均存在，且斜率之积为 $\frac{2}{5}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{29}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{35}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{30}}{5}$

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8. 若 $x \in (0 ， 1) ， a = \frac{\tan x}{x} ， b = \frac{\tan (x^{2})}{x^{2}} ， c = {(\frac{\tan x}{x})}^{2}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

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二、多选题

9. 在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高三年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下：

观看场数	0	1	2	3	4	5	6	7
观看人数占调查人数的百分比	8%	10%	20%	26%	m%	12%	6%	2%

从表中可以得出正确的结论为（）

A、表中m的数值为16 B、估计全年级观看比赛低于4场的学生约为32人 C、估计全年級观看比赛不低于4场的学生约为360 D、估计全年级观看比赛场数的众数为2

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10. 函数 $f (x) = \ln (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} - 1)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ B、 $f (x)$ 在定义域内单调递増 C、不等式 $f (m - 1) > f (2 m)$ 的解集为 $(- 1 ， + \infty)$ D、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称

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11. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，圆 $C_{2} ： {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2} ， (r > 0$ ，且 $a ， b$ 不同时为0）交于不同的两点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ ，下列结论正确的是（）

A、 $2 a x_{1} + 2 b y_{1} = a^{2} + b^{2}$ B、 $a (x_{1} - x_{2}) + b (y_{1} - y_{2}) = 0$ C、 $x_{1} + x_{2} = a ， y_{1} + y_{2} = b$ D、M，N为圆 $C_{2}$ 上的两动点，且 $| M N | = \sqrt{3} r$ ，则 $| \vec{O M} + \vec{O N} |$ 的最大值为 $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + r$

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12. 已知梯形 $A B C D$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 1$ ， $A D // B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $P$ 是线段 $B C$ 上的动点；将 $△ A B D$ 沿着 $B D$ 所在的直线翻折成四面体 $A^{'} B C D$ ，翻折的过程中下列选项中正确的是（）

A、不论何时， $B D$ 与 $A^{'} C$ 都不可能垂直 B、存在某个位置，使得 $A^{'} D ⊥$ 平面 $A^{'} B C$ C、直线 $A^{'} P$ 与平面 $B C D$ 所成角存在最大值 D、四面体 $A^{'} B C D$ 的外接球的表面积的最小值为 $4 π$

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三、填空题

13. 已知命题 $p ： \forall x \in R ， x^{3} > 3 x$ ，则该命题是（填“真命题”或“假命题”）.

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14. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{1}{2} x^{2} + x$ ，则 $f (x)$ 所有的切线中斜率最小的切线方程为.

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15. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝ $\frac{1}{2}$ （弦 $\times$ 矢＋ $矢^{2}$ ），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为平方米（精确到1平方米，参考数据 $\sqrt{2} \approx 1.41 ， \sqrt{3} \approx 1.73)$

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16. 古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如图①，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.图②，在底面半径和高均为 $1$ 的圆锥中， $A B$ 、 $C D$ 是底面圆 $O$ 的两条互相垂直的直径， $E$ 是母线 $P B$ 的中点， $F$ 是线段 $E O$ 的中点，已知过 $C D$ 与 $E$ 的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为， $M ， N$ 是该曲线上的两点且 $M N / / C D$ ，若 $M N$ 经过点 $F$ ，则 $| M N | =$ .

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，前n项和为 $S_{n}$ ；数列 ${b_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列，前n项和为 $T_{n}$ ；且 $a_{2} = b_{2} = 4 ， a_{8} = b_{4} = 16$ .

(1)、分别求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式和前n项和 $S_{n} ， T_{n}$ ；

(2)、若将数列 ${a_{n}}$ 中出现的数列 ${b_{n}}$ 的项剔除后，剩余的项从小到大排列得到数列 ${c_{n}}$ ，记数列 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $K_{n}$ ，求 $K_{2021}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且a＜b＜c，现有三个条件：①a、b、c为连续偶数；② $\sin B = 2 \sin A$ ；③ $\sin^{2} A + \sin^{2} B + \cos^{2} C = 1$ .

(1)、从上述三个条件中选出 ▲ 两个，使得 $△ A B C$ 不存在，并说明理由；

(2)、从上述三个条件中选出 ▲ 两个，使得 $△ A B C$ 存在；若△ABC存在且唯一，请求出a的值；若 $△ A B C$ 存在且不唯一，请说明理由.

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19. 已知如图①，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ 且 $A B = 2$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折起使 $A D = \sqrt{2}$ ，得到如图②所示的四棱锥 $A - B C D E$ .

(1)、求证：平面 $A B E ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $P$ 为 $A C$ 的中点，求二面角 $P - B D - A$ 的余弦值.

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20. 某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项日中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 、 $\frac{2}{3}$ 、 $\frac{1}{2}$ .

(1)、对实验甲、乙、丙各进行一次，求至少有一次成功的概率；

(2)、该项目研发流程如下：实验甲做一次，若成功，则奖励技术人员1万元并进行实验乙，否则技术人员不获得奖励且该项目终止；实验乙做两次，若两次都成功，则追加技术人员3万元奖励并进行实验丙，否则技术人员不追加奖励且该项目终止；实验丙做三次，若至少两次成功，则项目研发成功，再追加技术员4万元奖励，否则不追加奖励且该项目终止.每次实验相互独立，用X（单位：万元）表示技术人员所获得奖励的数值，写出X的分布列及数学期望.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点 $F_{1} (0 ， 1)$ 为焦点，过 $F_{1}$ 且垂直于 $y$ 轴的直线交椭圆于S，T两点，且 $\vec{F_{1} S} \cdot \vec{F_{1} T} = - \frac{9}{4}$ ，点 $P (\sqrt{3} ， 0)$ 为x轴上一点，直线 $y = y_{0} (y_{0} \neq 0)$ 与椭圆C交于不同的两点A，B.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、直线PA、PB分别交y轴于M、N两点，O为坐标系原点，问：x轴上是否存在点Q，使得 $∠ O Q N + ∠ O Q M = \frac{π}{2}$ ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + 2 + \ln x ， (a \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \leq e^{x}$ 恒成立，求 $a$ 的最大值.

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