2021-2022学年人教版九年级上册第二十一章一元二次方程单元测试

试卷更新日期：2021-07-02 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 下列方程中，是一元二次方程的是（）

A、ax²+bx+c＝0 B、x²+ $\frac{1}{x}$ ＝1 C、x²﹣1＝0 D、2x+3y﹣5＝0

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2. 若关于x的一元二次方程 $(a - 6) x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 有实数根，则整数a的最大值是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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3. 下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（）

A、 $x^{2} - 2 x + 3 =0$ B、 $x^{2} - 3 x + 2=0$ C、 $x^{2} - 2 x - 3 =0$ D、 $x^{2} + 3 x - 2 =0$

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4. 若关于 $x$ 的方程 $k x^{2} - 2 x + \frac{1}{4} = 0$ 有实数根，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k < 4$ B、 $k < 4$ 且 $k \neq 0$ C、 $k \leq 4$ D、 $k \leq 4$ 且 $k \neq 0$

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5. 等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x²﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（）

A、8 B、9 C、8或9 D、12

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6. 一元二次方程x²﹣3x+1＝0的两个根为x₁ ， x₂ ，则x₁²+3x₂+x₁x₂﹣2的值是（）

A、10 B、9 C、8 D、7

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7. 肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程（）

A、1+x＝225 B、1+x²＝225 C、（1+x）²＝225 D、1+（1+x² ）＝225

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8. 对于一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b²﹣4ac≥0；②若方程ax²+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax²+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax²+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x₀是一元二次方程ax²+bx+c＝0的根，则 $b^{2} - 4 a c = {(2 a x_{0} + b)}^{2}$ ；其中正确的（）

A、只有①② B、只有①②④ C、①②③④ D、只有①②③

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9. 将一元二次方程3x²﹣2x＝6化为一般形式，若二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别为（）

A、﹣2，6 B、﹣2，﹣6 C、2，6 D、2，﹣6

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10. 已知实数x ， y满足（x²+y²）²﹣2（x²+y²）＝48，且xy＝2，则下列结论正确的是（）

A、x²+y²＝8或x²+y²＝﹣6 B、x﹣y＝2 C、x+y＝2 $\sqrt{3}$ D、x+y＝±2 $\sqrt{3}$

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二、填空题

11. 一元二次方程 $x^{2} - 3 x = 0$ 的根是．

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12. 菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x²﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的面积为．

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13. 已知2+ $\sqrt{3}$ 是关于x的方程x²-4x+m=0的一个根，则m=。

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14. 若一元二次方程2x²﹣3x+1＝0的两个实数根为x₁ ， x₂ ，则x₁²+x₂²﹣x₁•x₂的值是．

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15. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + x - m = 0$ 有两个实数根，则m的取值范围是．

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16. 已知m是方程x²-x-1=0的一个根，则代数式5m²-5m+2015的值为

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17. 已知一个三角形的三边都是方程 $x^{2} - 8 x + 12 = 0$ 的根，则此三角形的周长为．

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18. 如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为.

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三、解答题

19. 请选择适当的方法解下列一元二次方程：

(1)、 $2 x^{2} + 6 x + 3 = 0$ ；

(2)、 ${(x + 2)}^{2} = 3 (x + 2)$ .

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20. 把方程（3x+2）（x﹣3）=2x﹣6，化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．

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21. 某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2.扩充区域的扩建费用为每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用为每平方米100元，如果计划总费用为642000那么扩充后广场的长和宽应分别是多少米?

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22. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (m + 2) x + 3 (m - 1) = 0$ .

(1)、请判断这个方程的根的情况，并说明理由；

(2)、若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求m的取值范围.

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23. 小明在解方程x²-5x=1时出现了错误，解答过程如下：
∵a=1，b=-5，c=1，（第一步）

∴b²-4ac=(-5)²-4×1×1=21（第二步）

∴x= $\frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$

∴x₁= $\frac{5 + \sqrt{21}}{2}$ ，x₂= $\frac{5 - \sqrt{21}}{2}$ (第四步)

(1)、小明解答过程是从第步开始出错的，其错误原因是。

(2)、写出此题正确的解答过程。

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24. 今年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%、今年该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等，求该商店今年8、9月份营业额的月增长率．

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25. 已知关于x的方程x²﹣（3k+3）x+2k²+4k+2＝0，

(1)、求证：无论k为何值，原方程都有实数根；

(2)、若该方程的两实数根x₁、x₂为一菱形的两条对角线之长，且x₁x₂+2x₁+2x₂＝36，求k值及该菱形的面积.

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26. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 $2$ 倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两个根是 $2$ 和 $4$ ，则方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 就是“倍根方程”．

(1)、若一元二次方程 $x^{2} - 3 x + c = 0$ 是“倍根方程”，则c＝．

(2)、若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 是“倍根方程”，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 之间的关系为．

(3)、若 $(x - 2) (m x - n) = 0 (m \neq 0)$ 是“倍根方程”，求代数式 $4 m^{2} - 5 m n + n^{2}$ 的值．

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