内蒙古包头市、巴彦淖尔市、乌兰察布市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-07-01 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，位居全球第一．将46.61万用科学记数法表示为 $4.661 \times 10^{n}$ ，则n等于（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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2. 下列运算结果中，绝对值最大的是（　　）

A、 $1 + (- 4)$ B、 ${(- 1)}^{4}$ C、 ${(- 5)}^{- 1}$ D、 $\sqrt{4}$

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3. 已知线段 $A B = 4$ ，在直线AB上作线段BC ，使得 $B C = 2$ ．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（）

A、1 B、3 C、1或3 D、2或3

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4. 柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = \sqrt{5}$ ， $B C = 2$ ，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D ，交AC于点C ，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E ，交BC于点F ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $8 - π$ B、 $4 - π$ C、 $2 - \frac{π}{4}$ D、 $1 - \frac{π}{4}$

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6. 若 $x = \sqrt{2} + 1$ ，则代数式 $x^{2} - 2 x + 2$ 的值为（）

A、7 B、4 C、3 D、 $3 - 2 \sqrt{2}$

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7. 定义新运算“ $\otimes$ ”，规定： $a \otimes b = a - 2 b$ ．若关于x的不等式 $x \otimes m > 3$ 的解集为 $x > - 1$ ，则m的值是（　　）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、1 D、2

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8. 如图，直线 $l_{1} / / l_{2}$ ，直线 $l_{3}$ 交 $l_{1}$ 于点A ，交 $l_{2}$ 于点B ，过点B的直线 $l_{4}$ 交 $l_{1}$ 于点C ．若 $∠ 3 = 50 °$ ， $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 240 °$ ，则 $∠ 4$ 等于（）

A、 $80 °$ B、 $70 °$ C、 $60 °$ D、 $50 °$

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9. 下列命题正确的是（　　）

A、在函数 $y = - \frac{1}{2 x}$ 中，当 $x > 0$ 时，y随x的增大而减小 B、若 $a < 0$ ，则 $1 + a > 1 - a$ C、垂直于半径的直线是圆的切线 D、各边相等的圆内接四边形是正方形

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} - b x + c (a \neq 0)$ 的图象经过第一象限的点 $(1 ， - b)$ ，则一次函数 $y = b x - a c$ 的图象不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $△ D B C$ 和 $△ A B C$ 关于直线BC对称，连接AD ，与BC相交于点O ，过点C作 $C E ⊥ C D$ ，垂足为C ，与AD相交于点E ．若 $A D = 8$ ， $B C = 6$ ，则 $\frac{2 O E + A E}{B D}$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{5}{4}$

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12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 的图象与BC交于点D ，与对角线OB交于点E ，与AB交于点F ，连接OD ， DE ， EF ， DF ．下列结论：① $\sin ∠ D O C = \cos ∠ B O C$ ；② $O E = B E$ ；③ $S_{△ D O E} = S_{△ B E F}$ ；④ $O D ： D F = 2 ： 3$ ．其中正确的结论有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题

13. 因式分解： $\frac{a x^{2}}{4} + a x + a =$ ．

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14. 化简： $(\frac{2 m}{m^{2} - 4} + \frac{1}{2 - m}) \div \frac{1}{m + 2} =$ ．

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15. 一个正数a的两个平方根是 $2 b - 1$ 和 $b + 4$ ，则 $a + b$ 的立方根为．

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16. 某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x ， 10，若这组数据的中位数为8，则这组数据的方差为．

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，过点B作 $B D ⊥ C B$ ，垂足为B ，且 $B D = 3$ ，连接CD ，与AB相交于点M ，过点M作 $M N ⊥ C B$ ，垂足为N ．若 $A C = 2$ ，则MN的长为．

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18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A D = 12$ ，以AD为直径的 $⊙ O$ 与BC相切于点E ，连接OC ．若 $O C = A B$ ，则 $▱ A B C D$ 的周长为．

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19. 如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE ， EF ， AF ．若 $D E = D C$ ， $E F = E C$ ，则 $∠ B A F$ 的度数为．

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20. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与x轴交于A ， B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C ，点 $D (4 ， y)$ 在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当 $B E + D E$ 的值最小时， $△ A C E$ 的面积为．

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三、解答题

21. 为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中a ， b满足 $b = 2 a$ ．
请根据所给信息，解答下列问题：

甲组20名学生竞赛成绩统计表

成绩（分）

70

80

90

100

人数

3

a

b

5

乙组20名学生竞赛成绩统计图

(1)、求统计表中a ， b的值；

(2)、小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是： $(70 + 80 + 90 + 100) \div 4 = 85$ （分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否符合题意，若不符合题意，请写出正确的算式并计算出结果；

(3)、如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．

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22. 某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C ， D两个观测点，如图，测得AC长为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2} km$ ，CD长为 $\frac{3}{4} (\sqrt{2} + \sqrt{6}) km$ ，BD长为 $\frac{3}{2} km$ ， $∠ A C D = 60 °$ ， $∠ C D B = 135 °$ （A、B、C、D在同一水平面内）．

(1)、求A、D两点之间的距离：

(2)、求隧道AB的长度．

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23. 小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．

(1)、求小刚跑步的平均速度；

(2)、如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．

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24. 如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的 $⊙ O$ 交AB于点E ，交AC于点F ，过点F作 $F G ⊥ A B$ ，垂足为H ，交 $\overset{⌢}{A C}$ 于点G ，交AD于点M ，连接AG ， DE ， DF ．

(1)、求证： $∠ G A D + ∠ E D F = 180 °$ ；

(2)、若 $∠ A C B = 45 °$ ， $A D = 4$ ， $\tan ∠ A B C = 2$ ，求HF的长．

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25. 如图，已知 $△ A B C$ 是等边三角形，P是 $△ A B C$ 内部的一点，连接BP ， CP ．

(1)、如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q ，交AC于点R ，当点P在 $\overset{⌢}{Q R}$ 上时，连接AP ，在BC边的下方作 $∠ B C D = ∠ B A P$ ， $C D = A P$ ，连接DP ，求 $∠ C P D$ 的度数；

(2)、如图2，E是BC边上一点，且 $E C = 3 B E$ ，当 $B P = C P$ 时，连接EP并延长，交AC于点F ．若 $\sqrt{7} A B = 4 B P$ ，求证： $4 E F = 3 A B$ ；

(3)、如图3，M是AC边上一点，当 $A M = 2 M C$ 时，连接MP ．若 $∠ C M P = 150 °$ ， $A B = 6 a$ ， $M P = \sqrt{3} a$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B C P$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $S_{1} - S_{2}$ 的值（用含a的代数式表示）．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + 4 x$ 经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A ，点 $M (m ， n)$ 是抛物线上一动点．

(1)、如图1，当 $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $n = 3 m$ 时，
①求点M的坐标：

②若点 $B (\frac{15}{4} ， y)$ 在该抛物线上，连接OM ， BM ， C是线段BM上一动点（点C与点M ， B不重合），过点C作 $C D / / M O$ ，交x轴于点D ，线段OD与MC是否相等？请说明理由；

(2)、如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K ，点 $E (x ， \frac{7}{3})$ 在对称轴上，当 $m > 2$ ， $n > 0$ ，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N ， G为y轴上一点，点G的坐标为 $(0 ， \frac{18}{5})$ ，连接GF ．若 $E F + N F = 2 M F$ ，求证：射线FE平分 $∠ A F G$ ．

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成绩（分）	70	80	90	100
人数	3	a	b	5