广东省2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-07-01 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 下列实数中，最大的数是（）

A、 $π$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $| - 2 |$ D、3

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2. 据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数法表示为（）

A、 $0.510858 \times 10^{9}$ B、 $51.0858 \times 10^{7}$ C、 $5.10858 \times 10^{4}$ D、 $5.10858 \times 10^{8}$

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3. 同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 已知 $9^{m} = 3 ， 27^{n} = 4$ ，则 $3^{2 m + 3 n} =$ （）

A、1 B、6 C、7 D、12

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5. 若 $| a - \sqrt{3} | + \sqrt{9 a^{2} - 12 a b + 4 b^{2}} = 0$ ，则 $a b =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、9

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6. 下列图形是正方体展开图的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 如图， $A B$ 是⊙O的直径，点C为圆上一点， $A C = 3 ， ∠ A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点D ， $C D = 1$ ，则⊙O的直径为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、1 D、2

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8. 设 $6 - \sqrt{10}$ 的整数部分为a ，小数部分为b ，则 $(2 a + \sqrt{10}) b$ 的值是（）

A、6 B、 $2 \sqrt{10}$ C、12 D、 $9 \sqrt{10}$

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9. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ， b ， c ，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，则其面积 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若 $p = 5 ， c = 4$ ，则此三角形面积的最大值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、5

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10. 设O为坐标原点，点A、B为抛物线 $y = x^{2}$ 上的两个动点，且 $O A ⊥ O B$ ．连接点A、B ，过O作 $O C ⊥ A B$ 于点C ，则点C到y轴距离的最大值（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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二、填空题

11. 二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = - 2 \\ 2 x + y = 2 \end{array}$ 的解为．

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12. 把抛物线 $y = 2 x^{2} + 1$ 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．

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13. 如图，等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A = 90 ° ， B C = 4$ ．分别以点B、点C为圆心，线段 $B C$ 长的一半为半径作圆弧，交 $A B$ 、 $B C$ 、 $A C$ 于点D、E、F ，则图中阴影部分的面积为．

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14. 若一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ （b ， c为常数）的两根 $x_{1} ， x_{2}$ 满足 $- 3 < x_{1} < - 1 ， 1 < x_{2} < 3$ ，则符合条件的一个方程为．

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15. 若 $x + \frac{1}{x} = \frac{13}{6}$ 且 $0 < x < 1$ ，则 $x^{2} - \frac{1}{x^{2}} =$ ．

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16. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A D = 5 ， A B = 12 ， \sin A = \frac{4}{5}$ ．过点D作 $D E ⊥ A B$ ，垂足为E ，则 $\sin ∠ B C E =$ ．

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17. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 ° ， A B = 2 ， B C = 3$ ．点D为平面上一个动点， $∠ A D B = 45 °$ ，则线段 $C D$ 长度的最小值为．

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三、解答题

18. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 4 \geq 3 (x - 2) \\ 4 x > \frac{x - 7}{2} \end{array}$ .

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19. 某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛．用简单随机抽样的方法，从该年级全体600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如图：

(1)、求这20名学生成绩的众数，中位数和平均数；

(2)、若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．

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20. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ，作 $B C$ 的垂直平分线交 $A C$ 于点D ，延长 $A C$ 至点E ，使 $C E = A B$ ．

(1)、若 $A E = 1$ ，求 $△ A B D$ 的周长；

(2)、若 $A D = \frac{1}{3} B D$ ，求 $\tan ∠ A B C$ 的值．

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = k x + b (k > 0)$ 的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 图象的一个交点为 $P (1 ， m)$ ．

(1)、求m的值；

(2)、若 $P A = 2 A B$ ，求k的值．

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22. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．

(1)、求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；

(2)、设猪肉粽每盒售价x元 $(50 \leq x \leq 65) ， y$ 表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．

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23. 如图，边长为1的正方形 $A B C D$ 中，点E为 $A D$ 的中点．连接 $B E$ ，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折叠得到 $△ F B E ， B F$ 交 $A C$ 于点G ，求 $C G$ 的长．

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24. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B // C D ， A B \neq C D ， ∠ A B C = 90 °$ ，点E、F分别在线段 $B C$ 、 $A D$ 上，且 $E F // C D ， A B = A F ， C D = D F$ ．

(1)、求证： $C F ⊥ F B$ ；

(2)、求证：以 $A D$ 为直径的圆与 $B C$ 相切；

(3)、若 $E F = 2 ， ∠ D F E = 120 °$ ，求 $△ A D E$ 的面积．

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25. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象过点 $(- 1 ， 0)$ ，且对任意实数x ，都有 $4 x - 12 \leq a x^{2} + b x + c \leq 2 x^{2} - 8 x + 6$ ．

(1)、求该二次函数的解析式；

(2)、若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A ，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N ，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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