黑龙江省齐齐哈尔市八中2020-2021学年高二下学期理数6月月考试卷

试卷更新日期：2021-07-01 类型：月考试卷

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一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.

1. 若复数 $z$ 满足 $(3 + 4 i) z = | 4 - 3 i |$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、-4 C、 $- \frac{4}{5}$ D、4

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2. 若 $A_{n}^{3} = 6 C_{n}^{2}$ ，则 $n =$ （）

A、5 B、7 C、6 D、4

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3. ${(x + \frac{1}{2 x})}^{6}$ 的展开式中常数项为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、160 C、 $- \frac{5}{2}$ D、-160

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4. 在中国共产党建党百年之际，我们将迎来全面建成小康社会，实现第一个百年目标的伟大胜利.在脱贫攻坚如期收官之后，为更好地解决相对贫困问题，某地着力加强教育脱贫工作.现安排5名优秀教师到4个贫困县进行支教工作，要求每个贫困县至少安排1名教师，则不同的安排方案有（）种

A、60 B、120 C、240 D、480

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5. 设f（x）= ${\begin{matrix} x^{2} ， x \in [0 ， 1] \\ 2 - x ， x \in (1 ， 2] \end{matrix}$ ，则 $\int_{0}^{2}$ f（x）dx等于（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、不存在

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6. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )

A、0.648 B、0.432 C、0.36 D、0.312

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7. 随机变量 $X$ 的分布列为

$X$

0

1

$m$

$P$

$\frac{1}{5}$

$n$

$\frac{3}{10}$

若 $E (X) = 1.1$ ，则 $D (X) =$ （）

A、0.49 B、0.69 C、1 D、2

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8. 若方程 $2 x^{3} - 6 x^{2} + 4 + m = 0$ 有三个不同的实数根，则 $m$ 的取值范围（）

A、 $(- 6 ， 0)$ B、 $(- 6 ， 2)$ C、 $(- 4 ， 4)$ D、 $(0 ， 4)$

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9. 下列正确命题的序号有（）
①若随机变量 $X ~ B (100 ， p)$ ，且 $E (X) = 20$ ，则 $D (\frac{1}{2} X + 1) = 5$ .
②在一次随机试验中，彼此互斥的事件A、B、C、D的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则 $A$ 与 $B \cup C \cup D$ 是互斥事件，也是对立事件.
③一只袋内装有 $m$ 个白球， $n - m$ 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了 $ξ$ 个白球， $P (ξ = 2) = \frac{(n - m) A_{m}^{2}}{A_{n}^{3}}$ .
④由一组样本数据 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ，... $(x_{n} ， y_{n})$ 得到回归直线方程 $y = b x + a$ ，那么直线 $y = b x + a$ 至少经过 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ，... $(x_{n} ， y_{n})$ 中的一个点.

A、②③ B、①② C、③④ D、①④

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10. 已知定义域为 $(0 ， + \infty)$ 的函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(6 ， 8)$ ，且对 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f^{'} (x) > 1$ ，则不等式 $f (2^{x} - 2) < 2^{x}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 3)$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(0 ， 1)$

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二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (1.5 ， σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 0) = 0.2$ ，则 $P (X < 3) =$ ．

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12. 函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ 的单调递减区间为．

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13. 甲､乙两队进行羽毛球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若甲队每局获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，则甲队获得冠军的概率为．

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14. 我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宜肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件 $A$ 表示选出的两种中有一药，事件 $B$ 表示选出的两种中有一方，则 $P (B | A) =$ ．

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三、解答题

15. 已知在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为： ${\begin{array}{l} x = 5 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \sqrt{3} + \frac{1}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \cos θ$ .

(1)、将曲线 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)、设点 $M$ 直角坐标为 $(5 ， \sqrt{3})$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 交点为 $A$ ， $B$ ，求 $| M A | \cdot | M B |$ 的值．

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16. 广元某中学调查了该校某班全部40名同学参加棋艺社团和武术社团的情况，数据如下表：（单位：人）

参加棋艺社团

未参加棋艺社团

参加武术社团

8

10

未参加武术社团

7

15

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} \geq k_{0})$

0.10

0.05

0.025

$k_{0}$

2.706

3.841

5.024

(1)、能否有95%的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关？

(2)、已知既参加棋艺社团又参加武术社团的8名同学中，有3名男同学，5名女同学．现从这3名男同学，5名女同学中随机选5人参加综合素质大赛，求被选中的女生人数 $X$ 的分布列和期望．

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17. 某品牌汽车

4 S

店对2020年该市前几个月的汽车成交量进行统计，用

y

表示2020年第

x

月份该店汽车成交量，得到统计表格如下：

$x_{i}$	1	2	3	4	5	6	7	8
$y_{i}$	14	12	20	20	22	24	30	26

参考数据及公式： $\sum_{i = 1}^{8} x_{i} y_{i} = 850$ ， $\sum_{i = 1}^{8} x_{i}^{2} = 204$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - b \bar{x}$ .

(1)、求出

y

关于

x

的线性回归方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

，并预测该店9月份的成交量；（

\hat{a}

，

\hat{b}

精确到整数）

(2)、该店为增加业绩，决定针对汽车成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获2千元奖金；抽中“祝您平安”则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为

\frac{1}{3}

，没有获得奖金的概率为

\frac{1}{6}

．现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额

X

（千元）的分布列及数学期望．

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18. 已知函数 $f (x) = a x + 1 (x > 0)$ ， $g (x) = \ln x - \frac{a - 1}{x} + 2 a$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，比较函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的大小；

(2)、若 $x \geq 1$ 时， $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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	参加棋艺社团	未参加棋艺社团
参加武术社团	8	10
未参加武术社团	7	15

$X$	0	1	$m$
$P$	$\frac{1}{5}$	$n$	$\frac{3}{10}$

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024