浙江省2021年中考数学真题分类汇编12 解直角三角形

试卷更新日期：2021-06-29 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P.若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（）

A、（36 $- 6 \sqrt{3}$ ）cm² B、（36 $- 12 \sqrt{3}$ ）cm² C、24cm² D、36cm²

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2. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 $O A B C$ .若 $A B = B C = 1$ . $∠ A O B = α$ ，则 $O C^{2}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{\sin^{2} α} + 1$ B、 $\sin^{2} α + 1$ C、 $\frac{1}{\cos^{2} α} + 1$ D、 $\cos^{2} α + 1$

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3. 如图是一架人字梯，已知 $A B = A C = 2$ 米，AC与地面BC的夹角为 $α$ ，则两梯脚之间的距离BC为（）

A、 $4 \cos α$ 米 B、 $4 \sin α$ 米 C、 $4 \tan α$ 米 D、 $\frac{4}{\cos α}$ 米

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二、填空题

4. sin30°=

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5. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，则sinB的值是

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6. 图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上.若 $A B = 30 cm$ ，则BC长为cm（结果保留根号）.

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7. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）。则图中AB的长应该是

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8. 已知 $△ A B C$ 与 $△ A B D$ 在同一平面内，点C，D不重合， $∠ A B C = ∠ A B D = 30 °$ ， $A B = 4$ ， $A C = A D = 2 \sqrt{2}$ ，则CD长为.

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三、解答题

9. 图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图.支撑杆AB垂直于地面l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处.若∠AED＝48°，BE＝110cm，DE＝80cm，求活动杆端点D离地面的高度DF.（结果精确到1cm，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）

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10. 一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm ， BE＝4cm ．当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．

（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

(1)、求点D转动到点D′的路径长；

(2)、求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．

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11. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $B D$ 上的两点（点 $E$ 在点 $F$ 左侧），且 $∠ A E B = ∠ C F D = 90 °$ .

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是平行四边形.

(2)、当 $A B = 5$ ， $\tan ∠ A B E = \frac{3}{4}$ ， $∠ C B E = ∠ E A F$ 时，求 $B D$ 的长.

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12. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E。已知∠ABC=60°，∠C=45°。

(1)、求证：AB=BD；

(2)、若AE=3，求△ABC的面积。

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13. 拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm.点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内，

(1)、转动连杆BC，手臂CD，使 $∠ A B C = 143 °$ ， $C D / / l$ ，如图2，求手臂端点D离操作台 $l$ 的高度DE的长（精确到1cm，参考数据： $\sin 53 ° \approx 0.8$ ， $\cos 53 ° \approx 0.6$ ）.

(2)、物品在操作台 $l$ 上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由.

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14. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄 $A P$ 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 $∠ B A C$ ，且 $A B = A C$ ，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动.如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点 $D^{'}$ 的位置，且A，B， $D^{'}$ 三点共线， $A D^{'} = 40 cm$ ，B为 $A D^{'}$ 中点，当 $∠ B A C = 140 °$ 时，伞完全张开.

(1)、求 $A B$ 的长.

(2)、当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离.（参考数据： $\sin 70 ° \approx 094 ， \cos 70 ° \approx 0.34 ， \tan 70 ° \approx 2.75$ ）

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15. 如图，矩形ABCD中， $A B = 4$ ，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点， $∠ A D B = 30 °$ .连结EF，作点D关于直线EF的对称点P.

(1)、若 $E F ⊥ B D$ ，求DF的长.

(2)、若 $P E ⊥ B D$ ，求DF的长.

(3)、直线PE交BD于点Q，若 $△ D E Q$ 是锐角三角形，求DF长的取值范围.

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