浙江省2021年中考数学真题分类汇编11 图形的相似

试卷更新日期：2021-06-29 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，图形甲与图形乙是位似图形， $O$ 是位似中心，位似比为 $2 ： 3$ ，点 $A$ ， $B$ 的对应点分别为点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ .若 $A B = 6$ ，则 $A^{'} B^{'}$ 的长为（）

A、8 B、9 C、10 D、15

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2. 如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高 $P O = 5 m$ ，树影 $A C = 3 m$ ，树AB与路灯O的水平距离 $A P = 4.5 m$ ，则树的高度AB长是（）

A、 $2 m$ B、 $3 m$ C、 $\frac{3}{2} m$ D、 $\frac{10}{3} m$

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3. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $\cos B = \frac{1}{4}$ ，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使 $∠ A D E = ∠ B$ ，连结CE，则 $\frac{C E}{A D}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ D、2

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二、填空题

4. 图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且 $O A = O B$ ，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得 $F A = 54 cm$ ， $E B = 45 cm$ ， $A B = 48 cm$ .

(1)、椅面CE的长度为cm.

(2)、如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角 $∠ C H D$ 的度数达到最小值 $30 °$ 时，A，B两点间的距离为cm（结果精确到0.1cm）.（参考数据： $\sin 15 ° \approx 0.26$ ， $\cos 15 ° \approx 0.97$ ， $\tan 15 ° \approx 0.27$ ）

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5. 如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG.若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝.

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6. 如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置.木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E.已知 $A B ⊥ B C ， M N ⊥ B C ， A B = 6.5$ ， $B P = 4 ， P D = 8$ .

(1)、ED的长为.

(2)、将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到 $B C^{'}$ （如图2），点P的对应点为 $P^{'}$ ， $B C^{'}$ 与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜 $P^{'}$ 反射后，在MN上的光点为 $E^{'}$ .若 $D D^{'} = 5$ ，则 $E E^{'}$ 的长为.

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7. 如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是．

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E在边 $A B$ 上， $△ B E C$ 与 $△ F E C$ 关于直线 $E C$ 对称，点B的对称点F在边 $A D$ 上，G为 $C D$ 中点，连结 $B G$ 分别与 $C E ， C F$ 交于M，N两点，若 $B M = B E$ ， $M G = 1$ ，则 $B N$ 的长为， $\sin ∠ A F E$ 的值为.

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三、综合题

9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C A = C B$ ，BC与 $⊙ A$ 相切于点D，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交 $⊙ A$ 于点F，连结BF.

(1)、求证：BF是 $⊙ A$ 的切线.

(2)、若 $B E = 5$ ， $A C = 20$ ，求EF的长.

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10. 如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），

A B = 6 cm

，过点C作

C D ⊥ A B

交半圆于点D，连结AD，过点C作

C E / / A D

交半圆于点E，连结EB.牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系.他根据学习函数的经验，记

A C = x cm

，

E C = y_{1} cm

，

E B = y_{2} cm

.请你一起参与探究函数

y_{1}

、

y_{2}

随自变量x变化的规律.

通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象.

x	…	0.30	0.80	1.60	2.40	3.20	4.00	4.80	5.60	…
$y_{1}$	…	2.01	2.98	3.46	3.33	2.83	2.11	1.27	0.38	…
$y_{2}$	…	5.60	4.95	3.95	2.96	2.06	1.24	0.57	0.10	…

(1)、当

x = 3

时，

y_{1}

＝.

(2)、在图2中画出函数

y_{2}

的图象，并结合图象判断函数值

y_{1}

与

y_{2}

的大小关系.

(3)、由（2）知“AC取某值时，有

E C = E B

”.如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程.

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11. 如图

(1)、（证明体验）
如图1， $A D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线， $∠ A D C = 60 °$ ，点E在 $A B$ 上， $A E = A C$ .求证： $D E$ 平分 $∠ A D B$ .

(2)、（思考探究）
如图2，在（1）的条件下，F为 $A B$ 上一点，连结 $F C$ 交 $A D$ 于点G.若 $F B = F C$ ， $D G = 2$ ， $C D = 3$ ，求 $B D$ 的长.

(3)、（拓展延伸）
如图3，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 平分 $∠ B A D ， ∠ B C A = 2 ∠ D C A$ ，点E在 $A C$ 上， $∠ E D C = ∠ A B C$ .若 $B C = 5 ， C D = 2 \sqrt{5} ， A D = 2 A E$ ，求 $A C$ 的长.

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12. 如图，

(1)、【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G.
求证： $△ B C E ≌ △ C D G$ .

(2)、【运用】
如图2，在（推理）条件下，延长BF交AD于点H.若 $\frac{H D}{H F} = \frac{4}{5}$ ， $C E = 9$ ，求线段DE的长.

(3)、【拓展】
将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若 $\frac{A B}{B C} = k$ ， $\frac{H D}{H F} = \frac{4}{5}$ ，求 $\frac{D E}{E C}$ 的值（用含k的代数式表示）.

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13. 如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连结BG。

(1)、求证：△ABG∽△AFC；

(2)、已知AB= $a$ ，AC=AF= $b$ ，求线段FG的长（用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示）；

(3)、已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD=∠CBE，求证： $B G^{2} = G E \cdot G D$ 。

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14. 如图，在平面直角坐标系中， $⊙ M$ 经过原点 $O$ ，分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $A (2 ， 0)$ ， $B (0 ， 8)$ ，连结 $A B$ .直线 $C M$ 分别交 $⊙ M$ 于点 $D$ ， $E$ （点 $D$ 在左侧），交 $x$ 轴于点 $C (17 ， 0)$ ，连结 $A E$ .

(1)、求 $⊙ M$ 的半径和直线 $C M$ 的函数表达式.

(2)、求点 $D$ ， $E$ 的坐标.

(3)、点 $P$ 在线段 $A C$ 上，连结 $P E$ .当 $∠ A E P$ 与 $△ O B D$ 的一个内角相等时，求所有满足条件的 $O P$ 的长.

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15. 如图1，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $B D$ 为直径， $\overset{⌢}{A D}$ 上存在点E，满足 $\overset{⌢}{A E} = \overset{⌢}{C D}$ ，连结 $B E$ 并延长交 $C D$ 的延长线于点F， $B E$ 与 $A D$ 交于点G.

(1)、若 $∠ D B C = α$ ，请用含 $α$ 的代数式表列 $∠ A G B$ .

(2)、如图2，连结 $C E ， C E = B G$ .求证； $E F = D G$ .

(3)、如图3，在（2）的条件下，连结 $C G$ ， $A G = 2$ .
①若 $\tan ∠ A D B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ F G D$ 的周长.

②求 $C G$ 的最小值.

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16. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $(- \sqrt{73} ， 0)$ ，点B在直线 $l ： y = \frac{3}{8} x$ 上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C.

(1)、如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D.
①若 $B A = B O$ ，求证： $C D = C O$ .

②若 $∠ C B O = 45 °$ ，求四边形 $A B O C$ 的面积.

(2)、是否存在点B，使得以 $A ， B ， C$ 为顶点的三角形与 $△ B C O$ 相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由.

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17. 已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 图像上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ， $x < 0$ ）的图像于点B，过点A作AE⊥ $y$ 轴于点E。

(1)、如图1，过点B作BF⊥ $x$ 轴于点F，连结EF，
①若 $k = 1$ ，求证：四边形AEFO是平行四边形；

②连结BE，若 $k = 4$ ，求△BOE的面积。

(2)、如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ， $x < 0$ ）的图像于点P，连结OP。
试探究：对于确定的实数 $k$ ，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由。

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