江苏省苏州市六校2020-2021学年高一上学期数学12月联合调研测试试卷

试卷更新日期：2021-06-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = \ln (x - 1)}$ ，集合 $B = {y | y = {(\frac{1}{2})}^{x}, x > - 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $[1, 4)$ C、 $(1, 4)$ D、 $(4, + \infty)$

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2. 已知 $a = e^{0.3}$ ， $b = \log_{5} \sqrt{7}$ ， $c = \sin 4$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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3. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \dots ， 20)$ 得到下面的散点图：

由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）

A、 $y = a + b x$ B、 $y = a + b x^{2}$ C、 $y = a + b e^{x}$ D、 $y = a + b \ln x$

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4. 已知扇形OAB的面积为4，圆心角为2弧度，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为（）

A、2 B、4 C、2π D、4π

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5. 函数 $y = \frac{2 x}{x^{2} + x^{- 2}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a^{x} ， x > 1 \\ (3 - a) x + 1 ， x \leq 1 \end{array}$ 在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A、(1，2] B、(1，3) C、(2，3) D、[2，3)

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7. 我国明代数学家､音乐理论家朱载填创立了十二平均律是利用数学使音律公式化第一人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，将八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表表示，其中表示这些半音的频率，它们满足

\log_{2} {(\frac{x_{i + 1}}{x_{i}})}^{12} = 1

(i=1，2，…，12).若某一半音与

D^{#}

的频率之比为

\sqrt[3]{2}

，则该半音为（）

频率

$x_{1}$

$x_{2}$

$x_{3}$

$x_{4}$

$x_{5}$

$x_{6}$

$x_{7}$

$x_{8}$

$x_{9}$

$x_{10}$

$x_{11}$

$x_{12}$

$x_{13}$

半音

$C$

$C^{#}$

$D$

$D^{#}$

$E$

$F$

$F^{#}$

$G$

$G^{#}$

$A$

$A^{#}$

$B$

$C$

A、F B、G C、

G^{#}

D、A

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8. 对于函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{x} ， x \leq a \\ x^{2} ， x > a \end{array}$ ，若满足集合 ${x | x > 0 ， f (x) = f (- x)}$ 中恰有2个元素，则正数a的取值范围是（）

A、[1，2) B、(0，2) C、(0，4) D、(2，4)

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二、多选题

9. 以下说法正确的是（）

A、对集合A，B，“ $A \cap B = A$ ”是“ $A \subseteq B$ ”的充要条件 B、对任意实数a，b，“ $a > b$ ”是“ $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ”的既不充分又不必要条件 C、对定义在R上的函数 $f (x)$ ，“ $f (0) = 0$ ”是“函数 $f (x)$ 为奇函数”的充分不必要条件 D、“角 $α$ 为第一象限角”是“角 $α$ 为锐角”的必要不充分条件

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10. 已知 $a > b > 0$ ， $a + b = 1$ ，则（）

A、 $\log_{a} b > \log_{b} a$ B、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} \geq 3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $a^{b} < b^{a}$ D、 $2^{a} - 2^{b} > 2^{- b} - 2^{- a}$

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11. 某数学兴趣小组对函数 $f (x) = \frac{- x}{| x | + 1}$ 进行研究，得出如下结论，其中正确的结论是（）

A、 $y = f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 的值域为 $(- 1, 1)$ C、 $y = f (x) - x^{2}$ 有且只有1个零点 D、 $f (\sin \frac{2021}{6} π) > f (\log_{3} 2)$

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12. 我们把定义域为 $[0, + \infty)$ 且同时满足以下两个条件的函数 $f (x)$ 称为“ $Ω$ 函数”：（1）对任意的 $x \in [0, + \infty)$ ，总有 $f (x) \geq 0$ ；（2）若 $x \geq 0$ ， $y \geq 0$ ，则有 $f (x + y) \geq f (x) + f (y)$ 成立，下列判断正确的是（）

A、若 $f (x)$ 为“ $Ω$ 函数”，则 $f (0) = 0$ B、若 $f (x)$ 为“ $Ω$ 函数”，则 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上为增函数 C、函数 $g (x) = {\begin{matrix} 0, x \in Q, \\ 1, x \notin Q \end{matrix}$ 在 $[0, + \infty)$ 上是“ $Ω$ 函数” D、函数 $g (x) = x^{2} + x$ 在 $[0, + \infty)$ 上是“ $Ω$ 函数”

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = e^{x} + x - 4$ 存在唯一零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} \in (n ， n + 1)$ ， $n \in Z$ ，则 $n =$ .

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14. 角α的终边经过函数 $g (x) = m^{x - 2} - \frac{1}{2}$ ( $m > 0$ ， $m \neq 1$ )的图象所过的定点，则关于t的不等式 ${(\tan α)}^{\lg t} > 2$ 的解集是.

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15. $[x]$ 表示不超过x的最大整数，如： $[- 2.3] = - 3$ ， $[6.32] = 6$ .设函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ，则 $y = [f (x)]$ 的值域是.

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \lg x | ， 0 < x \leq 3 \\ f (6 - x) ， 3 < x < 6 \end{array}$ ，方程 $f (x) = m$ 有四个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 求下列各式的值：

(1)、 $\lg 25 + \frac{2}{3} \lg 8 - \log_{2} 27 \times \log_{3} 2 + 2^{\log_{4} 9}$ ；

(2)、 $\cos (- \frac{14}{3} π) + \sin (\frac{5}{3} π) \cdot \tan (\frac{20}{3} π) - \sin (\frac{7}{2} π)$ .

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18. 已知第二象限角α满足___________.请从下列三个条件中任选一个作答.(注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分)
条件①： $\sin α$ ， $\cos α$ 是关于x的方程 $25 x^{2} - 5 x - 12 = 0$ 的两个实根；

条件②：角α终边上一点 $P (x, 2)$ ，且 $\cos α = \frac{2}{5} x$ ；

条件③： $\sin α - \cos α = \frac{7}{5}$ .

(1)、求 $\tan α + \frac{1}{\tan α}$ 的值；

(2)、求 $\frac{2 \sin α + \cos α}{\sin^{2} α (2 \cos α - \sin α)}$ 的值.

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19. 某种出口产品的关税税率为 $t$ ，市场价格 $x$ (单位：千元)与市场供应量 $p$ (单位：万件)之间近似满足关系式： $p = 2^{(1 - k t) {(x - b)}^{2}}$ ，其中 $k, b$ 均为常数.当关税税率 $t = 75 %$ 时，若市场价格为 $5$ 千元，则市场供应量约为 $1$ 万件；若市场价格为 $7$ 千元，则市场供应量约为 $2$ 万件.

(1)、试确定 $k, b$ 的值.

(2)、市场需求量 $q$ (单位：万件)与市场价格 $x$ (单位：千元)近似满足关系式： $q = 2^{- x}$ ，当 $p = q$ 时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过 $4$ 千元时，试确定关税税率的最大值.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ .

(1)、判断 $g (x) = \ln f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、解不等式 $(e^{x} + 2) [f (e^{2 x} + 1) + 1] + 2 > 0$ (其中e为常数，e=2.71828……)；

(3)、化简 $[\sqrt{f (\sin α)} - \sqrt{\frac{1}{f (\sin α)}}] \cdot [\sqrt{f (\cos α)} - \sqrt{\frac{1}{f (\cos α)}}]$ .

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21. 已知 $f (x) = a x^{2} + b x + 1 （ a \neq 0 ）$ .

(1)、若 $f (x)$ 的值域为 $[0, + \infty)$ ，求 $\frac{f (1)}{f (b)}$ 的最大值；

(2)、若 ${x | f (x) > 0} = (- 1, 2)$ ，当 $x \in [m, n]$ 时，值域是 $[\frac{m}{2}, \frac{n}{2}]$ ，求实数m，n的值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{4^{x} - 1}{2^{x}}$ .

(1)、证明：函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增；

(2)、若对任意 $x_{1} \in [1, 2]$ ，都存在 $x_{2} \in [1, 2]$ 使 $x_{1}^{2} - 2 b x_{1} \geq f (x_{2})$ 成立，求实数b的取值范围；

(3)、设 $g (x) = \log_{m - 1} [4^{x} + 4^{- x} - m f (x)]$ ( $m > 1$ ，且 $m \neq 2$ )，问是否存在实数m，使函数 $g (x)$ 在 $[1, 2]$ 上的最大值为0？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由.

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