黑龙江省哈尔滨市延寿二高2020-2021学年高一下学期数学5月月考试卷

试卷更新日期：2021-06-29 类型：月考试卷

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一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)

1. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）

A、(1+i)² B、i²(1-i) C、i(1+i)² D、i(1+i)

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2. $\frac{1 + 2 i}{1 - 2 i} =$ （）

A、 $- \frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$ B、 $- \frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ C、 $- \frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ D、 $- \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$

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3. 在复平面内，复数3－4i，i(2＋i)对应的点分别是A ， B ，则线段AB的中点C对应的复数为（）

A、－2＋2i B、2－2i C、－1＋i D、1－i

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4. 已知圆柱 $O O_{1}$ 的两底面圆周上的所有点都在球 $C$ 的表面，且圆柱 $O O_{1}$ 的底面半径为 $1$ ，高为 $2 \sqrt{3}$ ，则球 $C$ 的表面积为（）

A、2π B、8π C、12π D、16π

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5. 定义运算 $| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a d - b c$ ，若复数 $z$ 满足 $| \begin{matrix} z & - i \\ 1 - i & - 2 i \end{matrix} | = 0$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6. 空间中两个角α，β，α与β的两边对应平行且α=30°，则β为（）

A、60° B、150° C、 30° D、30°或150°

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7. 设m，n是两条不同的直线， $α$ 是平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / n$ C、若 $m / / n$ ， $n / / α$ ，则 $m / / α$ D、若 $m / / n$ ， $m ⊄ α$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / α$

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8. 如图，正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，原图形的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

9. 如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置的 $△ A B C$ 的直观图， $A^{'} B^{'} = 2 ， A^{'} C^{'} = B^{'} C^{'} = \sqrt{5}$ ，则在原平面图形 $△ A B C$ 中，有（）

A、 $A C = B C$ B、 $A B = 2$ C、 $A C = 2 \sqrt{5}$ D、 $S_{△ A B C} = 4 \sqrt{2}$

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10. 在图中，G ， N ， M ， H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 $G H$ ， $M N$ 是异面直线的图形有（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知复数z在复平面上对应的点为 $z (3, - 1)$ ， $i$ 为虚数单位，则下列正确的是（）

A、 $z = - 1 + 3 i$ B、 $| z | = 10$ C、 $\bar{z} = 3 + i$ D、 $z + i$ 是实数

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12. 下列说法正确的是（）

A、三点确定一个平面 B、三角形一定是平面图形 C、梯形一定是平面图形 D、四边形一定是平面图形

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三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13. 设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a= ．

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14. 如果圆台的两底面半径是7和1，则与两底面平行且等距离的截面面积为．

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15. 已知复数z，且|z|＝1，则|z+3+4i|的最小值是．

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16. 下列几何体中旋转体个，台体（棱台和圆台）个．

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四、解答题(本大题有6小题，共70分．)

17. 已知复数 $z = (m^{2} - 5 m + 6) + (m - 2) i$ （ $m \in R$ ）．

(1)、若复数z为纯虚数，求实数m的值；

(2)、若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．

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18. 在复平面内，A ， B ， C三点对应的复数分别为1，2+i ， ﹣1+2i ．

(1)、求向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ ， $\vec{B C}$ 对应的复数；

(2)、若ABCD为平行四边形，求D点对应的复数．

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19. 如图，在空间四边形 $A B C D$ 中， $E ， F ， G ， H$ 分别为 $A B ， B C ， C D ， D A$ 的中点，AC=BD.判断四边形 $E F G H$ 的形状，并给与证明.

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为 $\sqrt{3}$ 的等腰三角形，E､F分别为 $A B$ ､ $P C$ 的中点.

(1)、证明： $B F / /$ 平面 $P D E$ ；

(2)、求三棱锥 $E - B D F$ 的体积.

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21. 如图，四棱锥 $C - A B E D$ 中，四边形ABED是正方形，若G ， F分别是线段EC ， BD的中点.

(1)、求证： $G F //$ 平面ABC.

(2)、在线段CD上是否存在一点P ，使得平面 $G F P //$ 平面ABC？并说明理由.

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22. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B C / /$ 平面PAD ， $B C = \frac{1}{2} A D$ ，E是PD的中点．

(1)、求证： $B C / / A D$ ；

(2)、线段AD上是否存在点N ，使平面 $C E N / /$ 平面PAB ，若不存在请说明理由；若存在给出证明.

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