四川省广元市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-29 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 计算 $| - 3 | - (- 2)$ 的最后结果是（）

A、1 B、 $- 1$ C、5 D、 $- 5$

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2. 下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算正确的是（）

A、 ${(a - \frac{1}{2})}^{2} = a^{2} - \frac{1}{4}$ B、 $(a + 3) (a - 3) = a^{2} - 9$ C、 $- 2 (3 a + 1) = - 6 a - 1$ D、 $(a + b) (a - 2 b) = a^{2} - 2 b^{2}$

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4. 一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差

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5. 下列命题中，真命题是（）

A、 $2 x^{- 1} = \frac{1}{2 x}$ B、对角线互相垂直的四边形是菱形 C、顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形 D、已知抛物线 $y = x^{2} - 4 x - 5$ ，当 $- 1 < x < 5$ 时， $y < 0$

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6. 观察下列作图痕迹，所作线段 $C D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥.那么这个圆锥的底面圆的半径是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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8. 将二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线 $y = x + b$ 与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（）

A、 $- \frac{21}{4}$ 或 $- 3$ B、 $- \frac{13}{4}$ 或 $- 3$ C、 $\frac{21}{4}$ 或 $- 3$ D、 $\frac{13}{4}$ 或 $- 3$

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9. 如图，在边长为2的正方形 $A B C D$ 中， $A E$ 是以 $B C$ 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{3 + π}{2}$ B、 $π - 2$ C、1 D、 $\frac{5 - π}{2}$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 4$ ，点D是 $B C$ 边的中点，点P是 $A C$ 边上一个动点，连接 $P D$ ，以 $P D$ 为边在 $P D$ 的下方作等边三角形 $P D Q$ ，连接 $C Q$ .则 $C Q$ 的最小值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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二、填空题

11. 中国杂交水稻之父、中国工程院院士、共和国勋章获得者袁隆平于2021年5月22日因病去世，享年91岁，袁隆平的去世是中国乃至全世界的重大损失.袁隆平一生致力于水稻杂交技术研究，为提高我国水稻亩产量做出了巨大贡献.截至2012年，“种三产四”丰产工程项目累计示范推广面积达2000多万亩，增产20多亿公斤.将20亿这个数据用科学记数法表示为.

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12. 如图，实数 $- \sqrt{5}$ ， $\sqrt{15}$ ，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D.若m为整数，则m的值为.

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13. 如图，在 $4 \times 4$ 的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在 $⊙ O$ 上，点E是线段 $C D$ 与 $⊙ O$ 的交点.则 $∠ B A E$ 的正切值为.

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14. 如图，点 $A (- 2 ， 2)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且 $O M = O N = 5$ .点 $P (x ， y)$ 是线段 $M N$ 上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，连接 $O A$ 、 $O P$ .当 $S_{△ O A D} < S_{△ O P E}$ 时，x的取值范围是.

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15. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点O是对角线 $B D$ 的中点，点P在线段 $O D$ 上，连接 $A P$ 并延长交 $C D$ 于点E，过点P作 $P F ⊥ A P$ 交 $B C$ 于点F，连接 $A F$ 、 $E F$ ， $A F$ 交 $B D$ 于G，现有以下结论：① $A P = P F$ ；② $D E + B F = E F$ ；③ $P B - P D = \sqrt{2} B F$ ；④ $S_{△ A E F}$ 为定值；⑤ $S_{四边形 P E F G} = S_{△ A P G}$ .以上结论正确的有（填入正确的序号即可）.

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三、解答题

16. 解方程： $\frac{x - 3}{2} + \frac{x - 1}{3} = 4$ .

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17. 先化简，再求值： $(\frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y}) \div \frac{1}{x^{2} + x y}$ .其中 $x = \sqrt{2}$ ， $y = 1$ .

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18. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E为 $D C$ 边的中点，连接 $A E$ ，若 $A E$ 的延长线和 $B C$ 的延长线相交于点F.

(1)、求证： $B C = C F$ ；

(2)、连接 $A C$ 和 $B E$ 相交于点为G，若 $△ G E C$ 的面积为2，求平行四边形 $A B C D$ 的面积.

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19. 为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球.甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个.

(1)、若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球数量的 $\frac{2}{3}$ .学校有哪几种购买方案？

(2)、若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按90%收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按80%收费.若学校按（1）中的方案购买，学校到哪家商场购买花费少？

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20. “此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种.截止2021年5月18日16：20，全球接种“新冠”疫苗的比例为18.29%；中国累计接种4.2亿剂，占全国人口的29.32%.以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图：

	甲医院		乙医院
年龄段	频数	频率	频数	频率
18－29周岁	900	0.15	400	0.1
30－39周岁	a	0.25	1000	0.25
40－49周岁	2100	b	c	0.225
50－59周岁	1200	0.2	1200	0.3
60周岁以上	300	0.05	500	0.125

(1)、根据上面图表信息，回答下列问题：

①填空： $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40－49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为；

(2)、若A、B、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接种的概率.

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21. 如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为 $75 °$ ，测得小区楼房 $B C$ 顶端点C处的俯角为 $45 °$ .已知操控者A和小区楼房 $B C$ 之间的距离为45米，小区楼房 $B C$ 的高度为 $15 \sqrt{3}$ 米.

(1)、求此时无人机的高度；

(2)、在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于 $A B$ 的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行.问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内.参考数据： $\tan 75 ° = 2 + \sqrt{3}$ ， $\tan 15 ° = 2 - \sqrt{3}$ .计算结果保留根号）

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22. 如图，直线 $y = k x + 2$ 与双曲线 $y = \frac{1.5}{x}$ 相交于点A、B，已知点A的横坐标为1，

(1)、求直线 $y = k x + 2$ 的解析式及点B的坐标；

(2)、以线段 $A B$ 为斜边在直线 $A B$ 的上方作等腰直角三角形 $A B C$ .求经过点C的双曲线的解析式.

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23. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线，以 $A D$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $A B$ 边于点E，连接 $C E$ ，过点D作 $D F / / C E$ ，交 $A B$ 于点F.

(1)、求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B D = 5$ ， $\sin ∠ B = \frac{3}{5}$ ，求线段 $D F$ 的长.

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24. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点D是 $A B$ 边上一点（含端点A、B），过点B作 $B E$ 垂直于射线 $C D$ ，垂足为E，点F在射线 $C D$ 上，且 $E F = B E$ ，连接 $A F$ 、 $B F$ .

(1)、求证： $△ A B F ∽ △ C B E$ ；

(2)、如图2，连接 $A E$ ，点P、M、N分别为线段 $A C$ 、 $A E$ 、 $E F$ 的中点，连接 $P M$ 、
$M N$ 、 $P N$ .求 $∠ P M N$ 的度数及 $\frac{M N}{P M}$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，若 $B C = \sqrt{2}$ ，直接写出 $△ P M N$ 面积的最大值.

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