湖北省荆州市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-29 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 在实数 $- 1$ ，0， $\frac{1}{2}$ ， $\sqrt{2}$ 中，无理数是（）

A、 $- 1$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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2. 如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若等式 $2 a^{2} \cdot a$ +（）= $3 a^{3}$ 成立，则括号中填写单项式可以是（）

A、a B、 $a^{2}$ C、 $a^{3}$ D、 $a^{4}$

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4. 阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（）

如图：已知直线 $b // c$ ， $a ⊥ b$ ，求证： $a ⊥ c$ .

证明：①∵ $a ⊥ b$ （已知）

∴ $∠ 1 = 90 °$ （垂直的定义）

②又∵ $b // c$ （已知）

③∴ $∠ 1 = ∠ 2$ （同位角相等，两直线平行）

∴ $∠ 2 = ∠ 1 = 90 °$ （等量代换）

④∴ $a ⊥ c$ （垂直的定义）.

A、① B、② C、③ D、④

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5. 若点 $P (a + 1 ， 2 - 2 a)$ 关干x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知：如图，直线 $y_{1} = k x + 1$ 与双曲线 $y_{2} = \frac{2}{x}$ 在第一象限交于点 $P (1 ， t)$ ，与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是（）

A、 $t = 2$ B、 $△ A O B$ 是等腰直角三角形 C、 $k = 1$ D、当 $x > 1$ 时， $y_{2} > y_{1}$

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7. 如图，矩形 $O A B C$ 的边 $O A$ ， $O C$ 分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在 $O A$ 的延长线上.若 $A (2 ， 0)$ ， $D (4 ， 0)$ ，以O为圆心、 $O D$ 长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接 $D E$ ， $B E$ 、则 $∠ B E D$ 的度数是（）

A、 $15 °$ B、 $22.5 °$ C、 $30 °$ D、 $45 °$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 40 °$ ，点D，P分别是图中所作直线和射线与 $A B$ ， $C D$ 的交点.根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（）

A、 $A D = C D$ B、 $∠ A B P = ∠ C B P$ C、 $∠ B P C = 115 °$ D、 $∠ P B C = ∠ A$

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9. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ D = 60 °$ ， $A B = 2$ ，以B为圆心、 $B C$ 长为半径画 $\overset{⌢}{A C}$ ，点P为菱形内一点，连接 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ .当 $△ B P C$ 为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{2}{3} π - \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\frac{2}{3} π - \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $2 π$ D、 $2 π - \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

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10. 定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有 $[m ， p] ※ [q ， n] = m n + p q$ ，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如： $[2 ， 3] ※ [4 ， 5] = 2 \times 5 + 3 \times 4 = 22$ .若关于x的方程 $[x^{2} + 1 ， x] ※ [5 - 2 k ， k] = 0$ 有两个实数根，则k的取值范围是（）

A、 $k < \frac{5}{4}$ 且 $k \neq 0$ B、 $k \leq \frac{5}{4}$ C、 $k \leq \frac{5}{4}$ 且 $k \neq 0$ D、 $k \geq \frac{5}{4}$

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二、填空题

11. 已知： $a = {(\frac{1}{2})}^{- 1} + {(- \sqrt{3})}^{0}$ ， $b = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})$ ，则 $\sqrt{a + b} =$ .

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12. 有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁，现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次就能打开锁的概率是．

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13. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 是 $⊙ O$ 的弦， $O D ⊥ A C$ 于D，连接 $O C$ ，过点D作 $D F // O C$ 交 $A B$ 于F，过点B的切线交 $A C$ 的延长线于E.若 $A D = 4$ ， $D F = \frac{5}{2}$ ，则 $B E =$ .

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14. 如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图， $A B$ ， $B C$ 可分别绕点A，B转动，测量知 $B C = 8 cm$ ， $A B = 16 cm$ .当 $A B$ ， $B C$ 转动到 $∠ B A E = 60 °$ ， $∠ A B C = 50 °$ 时，点C到 $A E$ 的距离为cm.（结果保留小数点后一位，参考数据： $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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15. 若关于x的方程 $\frac{2 x + m}{x - 2} + \frac{x - 1}{2 - x} = 3$ 的解是正数，则m的取值范围为.

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16. 如图，过反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 图象上的四点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ 分别作x轴的垂线，垂足分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $A_{4}$ ，再过 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ 分别作y轴， $P_{1} A_{1}$ ， $P_{2} A_{2}$ ， $P_{3} A_{3}$ 的垂线，构造了四个相邻的矩形.若这四个矩形的面积从左到右依次为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ， $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = A_{3} A_{4}$ ，则 $S_{1}$ 与 $S_{4}$ 的数量关系为.

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三、解答题

17. 先化简，再求值： $\frac{a^{2} + 2 a + 1}{a^{2} - a} \div (1 + \frac{2}{a - 1})$ ，其中 $a = 2 \sqrt{3}$ .

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18. 已知：a是不等式 $5 (a - 2) + 8 < 6 (a - 1) + 7$ 的最小整数解，请用配方法解关于x的方程 $x^{2} + 2 a x + a + 1 = 0$ .

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19. 如图，在 $5 \times 5$ 的正方形网格图形中小正方形的边长都为1，线段 $E D$ 与 $A D$ 的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上.请在网格图形中画图：

(1)、以线段 $A D$ 为一边画正方形 $A B C D$ ，再以线段 $D E$ 为斜边画等腰直角三角形 $D E F$ ，其中顶点F在正方形 $A B C D$ 外；

(2)、在（1）中所画图形基础上，以点B为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形 $A B C D$ 和 $A D F E$ 面积之和，其它顶点也在格点上.

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20. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯.”阅读可以启智增慧，拓展视野，……为了解学生寒假阅读情况.开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24天）的阅读总时间作了随机抽样分析.设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别： $A (0 < t < 12)$ ， $B (12 \leq t < 24)$ ， $C (24 \leq t < 36)$ ， $D (t \geq 36)$ ，将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整）.

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、本次抽样的样本容量为；

(2)、补全条形统计图；

(3)、扇形统计图中a的值为，圆心角 $β$ 的度数为；

(4)、若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？对这些学生用一句话提一条阅读方面的建议.

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21. 小爱同学学习二次函数后，对函数 $y = - {(| x | - 1)}^{2}$ 进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到加下的函数图象.请根据函数图象，回答下列问题：

(1)、观察探究：
①写出该函数的一条性质：；

②方程 $- {(| x | - 1)}^{2} = - 1$ 的解为：；

③若方程 $- {(| x | - 1)}^{2} = a$ 有四个实数根，则a的取值范围是.

(2)、延伸思考：
将函数 $y = - {(| x | - 1)}^{2}$ 的图象经过怎样的平移可得到函数 $y_{1} = - {(| x - 2 | - 1)}^{2} + 3$ 的图象？写出平移过程，并直接写出当 $2 < y_{1} \leq 3$ 时，自变量x的取值范围.

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22. 小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈.已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元.

(1)、求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？

(2)、小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支.设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用.

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23. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 4$ ，F是对角线 $A C$ 上不与点A，C重合的一点，过F作 $F E ⊥ A D$ 于E，将 $△ A E F$ 沿 $E F$ 翻折得到 $△ G E F$ ，点G在射线 $A D$ 上，连接 $C G$ .

(1)、如图1，若点A的对称点G落在 $A D$ 上， $∠ F G C = 90 °$ ，延长 $G F$ 交 $A B$ 于H，连接 $C H$ .

①求证： $△ C D G ∽ △ G A H$ ；

②求 $\tan ∠ G H C$ .

(2)、如图2，若点A的对称点G落在 $A D$ 延长线上， $∠ G C F = 90 °$ ，判断 $△ G C F$ 与 $△ A E F$ 是否全等，并说明理由.

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24. 已知：直线 $y = - x + 1$ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为直线 $A B$ 上一动点，连接 $O C$ ， $∠ A O C$ 为锐角，在 $O C$ 上方以 $O C$ 为边作正方形 $O C D E$ ，连接 $B E$ ，设 $B E = t$ .

(1)、如图1，当点C在线段 $A B$ 上时，判断 $B E$ 与 $A B$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、真接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；

(3)、若 $\tan ∠ A O C = k$ ，经过点A的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 顶点为P，且有 $6 a + 3 b + 2 c = 0$ ， $△ P O A$ 的面积为 $\frac{1}{2 k}$ .当 $t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，求抛物线的解析式.

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