北京市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-29 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（）

A、长方体 B、圆柱 C、圆锥 D、三棱柱

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2. 党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务． $2014 - 2018$ 年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（）

A、 $0.1692 \times 10^{12}$ B、 $1.692 \times 10^{12}$ C、 $1.692 \times 10^{11}$ D、 $16.92 \times 10^{10}$

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3. 如图，点 $O$ 在直线 $A B$ 上， $O C ⊥ O D$ ．若 $∠ A O C = 120 °$ ，则 $∠ B O D$ 的大小为（）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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4. 下列多边形中，内角和最大的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 实数 $a ， b$ 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

A、 $a > - 2$ B、 $| a | > b$ C、 $a + b > 0$ D、 $b - a < 0$

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6. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 已知 $43^{2} = 1849 ， 44^{2} = 1936 ， 45^{2} = 2025 ， 46^{2} = 2116$ ．若 $n$ 为整数且 $n < \sqrt{2021} < n + 1$ ，则 $n$ 的值为（）

A、43 B、44 C、45 D、46

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8. 如图，用绳子围成周长为 $10m$ 的矩形，记矩形的一边长为 $x m$ ，它的邻边长为 $y m$ ，矩形的面积为 $S m^{2}$ ．当 $x$ 在一定范围内变化时， $y$ 和 $S$ 都随 $x$ 的变化而变化，则 $y$ 与 $x ， S$ 与 $x$ 满足的函数关系分别是（）

A、一次函数关系，二次函数关系 B、反比例函数关系，二次函数关系 C、一次函数关系，反比例函数关系 D、反比例函数关系，一次函数关系

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二、填空题

9. 若 $\sqrt{x - 7}$ 在实数范围内有意义，则实数 $x$ 的取值范围是．

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10. 分解因式： $5 x^{2} - 5 y^{2} =$ ．

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11. 方程 $\frac{2}{x + 3} = \frac{1}{x}$ 的解为．

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (1 ， 2)$ 和点 $B (- 1 ， m)$ ，则 $m$ 的值为．

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13. 如图， $P A ， P B$ 是 $⊙ O$ 的切线， $A ， B$ 是切点．若 $∠ P = 50 °$ ，则 $∠ A O B =$ ．

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14. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别在 $B C ， A D$ 上， $A F = E C$ ．只需添加一个条件即可证明四边形 $A E C F$ 是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．

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15. 有甲､乙两组数据，如表所示：

甲

11

12

13

14

15

乙

12

12

13

14

14

甲､乙两组数据的方差分别为 $s_{甲}^{2}, s_{乙}^{2}$ ，则 $s_{甲}^{2}$ $s_{乙}^{2}$ （填“＞”，“＜”或“＝”）．

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16. 某企业有 $A ， B$ 两条加工相同原材料的生产线．在一天内， $A$ 生产线共加工 $a$ 吨原材料，加工时间为 $(4 a + 1)$ 小时；在一天内， $B$ 生产线共加工 $b$ 吨原材料，加工时间为 $(2 b + 3)$ 小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到 $A ， B$ 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到 $A$ 生产线的吨数与分配到 $B$ 生产线的吨数的比为．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给 $A$ 生产线分配了 $m$ 吨原材料，给 $B$ 生产线分配了 $n$ 吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则 $\frac{m}{n}$ 的值为．

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三、解答题

17. 计算： $2 \sin 60 ° + \sqrt{12} + | - 5 | - {(π + \sqrt{2})}^{0}$ ．

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 4 x - 5 > x + 1 \\ \frac{3 x - 4}{2} < x \end{array}$

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19. 已知 $a^{2} + 2 b^{2} - 1 = 0$ ，求代数式 ${(a - b)}^{2} + b (2 a + b)$ 的值．

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20. 《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点 $A$ 处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点 $B$ ，使 $B ， A$ 两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点 $B$ 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点 $B$ 处的杆的影子的方向取一点 $C$ ，使 $C ， B$ 两点间的距离为10步，在点 $C$ 处立一根杆．取 $C A$ 的中点 $D$ ，那么直线 $D B$ 表示的方向为东西方向．

(1)、上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点 $A ， B ， C$ 的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作 $C A$ 的中点 $D$ （保留作图痕迹）；

(2)、在如图中，确定了直线 $D B$ 表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线 $C A$ 表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在 $△ A B C$ 中， $B A =$ ▲ ， $D$ 是 $C A$ 的中点，

$∴ C A ⊥ D B$ ▲ （填推理的依据）．

∵直线 $D B$ 表示的方向为东西方向，

∴直线 $C A$ 表示的方向为南北方向．

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21. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 m x + 3 m^{2} = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个实数根；

(2)、若 $m > 0$ ，且该方程的两个实数根的差为2，求 $m$ 的值．

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22. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A C B = ∠ C A D = 90 °$ ，点 $E$ 在 $B C$ 上， $A E // D C ， E F ⊥ A B$ ，垂足为 $F$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C D$ 是平行四边形；

(2)、若 $A E$ 平分 $∠ B A C ， B E = 5 ， \cos B = \frac{4}{5}$ ，求 $B F$ 和 $A D$ 的长．

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象由函数 $y = \frac{1}{2} x$ 的图象向下平移1个单位长度得到．

(1)、求这个一次函数的解析式；

(2)、当 $x > - 2$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = m x (m \neq 0)$ 的值大于一次函数 $y = k x + b$ 的值，直接写出 $m$ 的取值范围．

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24. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A D$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A D ⊥ B C$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $∠ B A D = ∠ C A D$ ；

(2)、连接 $B O$ 并延长，交 $A C$ 于点 $F$ ，交 $⊙ O$ 于点 $G$ ，连接 $G C$ ．若 $⊙ O$ 的半径为5， $O E = 3$ ，求 $G C$ 和 $O F$ 的长．

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25. 为了解甲､乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出了部分信息．
$a$ ．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组： $6 \leq x < 8 ， 8 \leq x < 10 ， 10 \leq x < 12 ， 12 \leq x < 14 ， 14 \leq x \leq 16$ ）：

$b$ ．甲城市邮政企业4月份收入的数据在 $10 \leq x < 12$ 这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8

$c$ ．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数､中位数如下：

平均数

中位数

甲城市

10.8

$m$

乙城市

11.0

11.5

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、写出表中 $m$ 的值；

(2)、在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 $p_{1}$ ．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 $p_{2}$ ．比较 $p_{1} ， p_{2}$ 的大小，并说明理由；

(3)、若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $(1 ， m)$ 和点 $(3 ， n)$ 在抛物线 $y = a x^{2} + b x (a > 0)$ 上．

(1)、若 $m = 3 ， n = 15$ ，求该抛物线的对称轴；

(2)、已知点 $(- 1 ， y_{1}) ， (2 ， y_{2}) ， (4 ， y_{3})$ 在该抛物线上．若 $m n < 0$ ，比较 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 的大小，并说明理由．

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27. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = α ， M$ 为 $B C$ 的中点，点 $D$ 在 $M C$ 上，以点 $A$ 为中心，将线段 $A D$ 顺时针旋转 $α$ 得到线段 $A E$ ，连接 $B E ， D E$ ．

(1)、比较 $∠ B A E$ 与 $∠ C A D$ 的大小；用等式表示线段 $B E ， B M ， M D$ 之间的数量关系，并证明；

(2)、过点 $M$ 作 $A B$ 的垂线，交 $D E$ 于点 $N$ ，用等式表示线段 $N E$ 与 $N D$ 的数量关系，并证明．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $⊙ O$ 的半径为1，对于点 $A$ 和线段 $B C$ ，给出如下定义：若将线段 $B C$ 绕点 $A$ 旋转可以得到 $⊙ O$ 的弦 $B^{'} C^{'}$ （ $B^{'} ， C^{'}$ 分别是 $B ， C$ 的对应点），则称线段 $B C$ 是 $⊙ O$ 的以点 $A$ 为中心的“关联线段”．

(1)、如图，点 $A ， B_{1} ， C_{1} ， B_{2} ， C_{2} ， B_{3} ， C_{3}$ 的横､纵坐标都是整数．在线段 $B_{1} C_{1} ， B_{2} C_{2} ， B_{3} C_{3}$ 中， $⊙ O$ 的以点 $A$ 为中心的“关联线段”是；

(2)、 $△ A B C$ 是边长为1的等边三角形，点 $A (0 ， t)$ ，其中 $t \neq 0$ ．若 $B C$ 是 $⊙ O$ 的以点 $A$ 为中心的“关联线段”，求 $t$ 的值；

(3)、在 $△ A B C$ 中， $A B = 1 ， A C = 2$ ．若 $B C$ 是 $⊙ O$ 的以点 $A$ 为中心的“关联线段”，直接写出 $O A$ 的最小值和最大值，以及相应的 $B C$ 长．

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甲	11	12	13	14	15
乙	12	12	13	14	14

	平均数	中位数
甲城市	10.8	$m$
乙城市	11.0	11.5