山东省青岛市李沧区2021年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-29 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列选项中，对 $\sqrt{2}$ 的说法错误的是（）．

A、 $\sqrt{2}$ 的相反数是 $- \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ 的倒数是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ 的绝对值是 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$ 是有理数

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3. 某中学在芦山地震捐款活动中，共捐款二十一万三千元．这一数据用科学记数法表示为（）

A、 $213 \times 10^{3}$ 元 B、 $2.13 \times 10^{4}$ 元 C、 $2.13 \times 10^{5}$ 元 D、 $0.213 \times 10^{6}$ 元

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4. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）．

A、三棱锥 B、圆锥 C、三棱柱 D、圆柱

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5. 一次数学测试后，某小组五名同学的成绩及数据分析如下表所示（有两个数据被遮盖），那么被遮盖的两个数据依次是（）．

甲

乙

丙

丁

戊

方差

平均成绩

81

79

■

80

82

■

80

A、78， $\sqrt{2}$ B、78，2 C、80， $\sqrt{2}$ D、80，2

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6. 下列运算正确的是（）．

A、 $a^{- 2} + a^{2} = a^{0}$ B、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ C、 ${(a b)}^{2} = a b^{2}$ D、 $a \cdot a^{2} = a^{3}$

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7. 如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）

A、55° B、65° C、60° D、75°

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8. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的顶点坐标为（-1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（）．

A、 $a b c > 0$ B、 $3 a + c > 0$ C、 $4 a c - b^{2} < 0$ D、关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = n + 1$ 无实数根

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二、填空题

9. 计算： $9 \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{48} =$ ．

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10. 为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务，则该村原计划每天种树棵．

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11.
如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是

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12. 如图，正方形 $O B C D$ 的边长为2，点 $B$ 在 $y$ 轴的正半轴上，点 $D$ 在 $x$ 轴的负半轴上，将正方形 $O B C D$ 绕点 $O$ 逆时针旋转30°至正方形 $O B^{'} C^{'} D^{'}$ 的位置， $B^{'} C^{'}$ 与 $C D$ 相交于点 $M$ ，则点 $M$ 的坐标为．

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13. 如图，以等边三角形 $A B C$ 的 $B C$ 边为直径画半圆，分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $E$ ， $D$ ， $D F$ 是圆的切线，过点 $F$ 作 $B C$ 的垂线交 $B C$ 于点 $G$ ．若 $A F$ 的长为2，则 $F G$ 的长为．

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14. 如图，在 $Rt Δ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $B C = 8$ ，点 $P$ 是射线 $B C$ 上一动点，连接 $A P$ ，将 $Δ A B P$ 沿 $A P$ 折叠，当点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 落在线段 $B C$ 的垂直平分线上时， $B P$ 的长等于.

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三、解答题

15. 已知：如图，四边形 $A B C D$ ．
求作：点 $P$ ，使点 $P$ 在四边形 $A B C D$ 内部， $P A = P B$ ，并且点 $P$ 到 $∠ B C D$ 两边的距离相等．

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16.

(1)、化简： $\frac{a + 1}{a^{2} - 2 a + 1} \div (1 + \frac{2}{a - 1})$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} x - 2 > 0 & ① \\ \frac{x}{2} + 1 \geq x - 3 & ② \end{array}$ ．

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17. 某校有2000名学生，为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组在全校随机抽取了150名学生进行抽样调查．整理样本数据，得到下列图表：

某校150名学生上学方式频数分布表

方式	划记	频数
步行	正正正	15
骑车	正正正正正正正正正正一	51
乘公共交通工具	正正正正正正正正正	45
乘私家车	正正正正正正	30
其它	正	9
合计		150

(1)、理解画线语句的含义，回答问题：如果150名学生全部在同一个年级抽取，这样的抽样是否合理？请说明理由；

(2)、根据抽样调查的结果，将估计出的全校2000名学生上学方式的情况绘制成条形统计图；

(3)、该校数学兴趣小组结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议．如：骑车上学的学生数约占全校的34%，建议学校合理安排自行车停车场地．请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化建议．

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18. 某中学举行“中国梦•我的梦”演讲比赛．九年级（1）班的小明和小刚都想参加．现设计了如下游戏规则：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去；否则小刚去，这个游戏规则是否公平？并说明理由．

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19. 图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝——铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑，某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：

课题	测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度
测量示意图			如图，雕塑的最高点B到地面的高度为 $B A$ ，在测点C用仪器测得点B的仰角为 $α$ ，前进一段距离到达测点E，再用该仪器测得点B的仰角为 $β$ ，且点A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内，点A，C，E在同一条直线上.
测量数据	$α$ 的度数	$β$ 的度数	$C E$ 的长度	仪器 $C D$ （ $E F$ ）的高度
测量数据	$31^{\circ}$	$42^{\circ}$	5米	$1.5$ 米

请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）.（参考数据： $\sin 31^{\circ} \approx 0.52$ ， $\cos 31^{\circ} \approx 0.86$ ， $\tan 31^{\circ} \approx 0.60$ ， $\sin 42^{\circ} \approx 0.67$ ， $\cos 42^{\circ} \approx 0.74$ ， $\tan 42^{\circ} \approx 0.90$ ）

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20. 如图，一次函数 $y = - x + 3$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 在第一象限的图象交于 $A (1 ， a)$ 和B两点，与x轴交于点C ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、若点P在x轴上，且 $Δ A P C$ 的面积为5，求点P的坐标．

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21. 如图，在 $Rt △ A B C$ 与 $Rt △ A B D$ 中， $∠ A B C = ∠ B A D = 90 °$ ， $A D = B C$ ， $A C$ ， $B D$ 相交于点 $G$ ．过点 $A$ 作 $A E // D B$ 交 $C B$ 的延长线于点 $E$ ，过点 $B$ 作 $B F // C A$ 交 $D A$ 的延长线于点 $F$ ， $A E$ ， $B F$ 相交于点 $H$ ．

(1)、求证： $△ A B C$ ≌ $△ B A D$ ；

(2)、若 $A B = B C$ ，四边形 $A H B G$ 是什么特殊四边形？请说明理由．

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22. 某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量

y

（件）是售价

x

（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润

w

（元）的三组对应值如表：

售价 $x$ （元/件）	50	60	80
周销售量 $y$ （件）	100	80	40
周销售利润 $w$ （元）	1000	1600	1600

注：周销售利润＝周销售量×（售价-进价）

(1)、求当售价是多少元/件时，周销售利润最大；

(2)、由于某种原因，该商品进价提高了

m

元/件

(m > 0)

，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求

m

的值．

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23. （问题）用n边形的对角线把n边形分割成（n-2个三角形，共有多少种不同的分割方案 $(n \geq 4)$ ？
（探究）为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有 $f (n)$ 种．

探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以， $f (4) = 2$ ．

探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：

第1类：如图③，用点 $A$ ， $E$ 与 $B$ 连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有 $f (4)$ 种不同的分割方案，所以，此类共有 $f (4)$ 种不同的分割方案．

第2类：如图④，用点 $A$ ， $E$ 与 $C$ 连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为 $\frac{1}{2} f (4)$ 种分割方案．

第3类：如图⑤，用点 $A$ ， $E$ 与 $D$ 连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f（4）种不同的分割方案，所以，此类共有f（4）种不同的分割方案．

所以， $f (5) = f (4) + \frac{1}{2} f (4) + f (4) = \frac{5}{2} \times f (4) = \frac{10}{4} \times f (4) = 5$ （种）

探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：

第1类：如图⑥，用 $A$ ， $F$ 与 $B$ 连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有 $f (5)$ 种不同的分割方案，所以，此类共有 $f (5)$ 种不同的分割方案．

第2类：如图⑦，用 $A$ ， $F$ 与 $C$ 连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有 $f (4)$ 种不同的分割方案．所以，此类共有 $f (4)$ 种分割方案．

第3类：如图⑧，用 $A$ ， $F$ 与 $D$ 连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有 $f (4)$ 种不同的分割方案．所以，此类共有 $f (4)$ 种分割方案．

第4类：如图，用 $A$ ， $F$ 与 $E$ 连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有 $f (5)$ 种不同的分割方案．所以，此类共有 $f (5)$ 种分割方案．

所以， $f (6) = f (5) + f (4) + f (4) + f (5)$

$= f (5) + \frac{2}{5} f (5) + \frac{2}{5} f (5) + f (5) = \frac{14}{5} \times f (5) = 14$ （种）

探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则 $f (7)$ 与 $f (6)$ 的关系为 $f (7) = \frac{()}{6} \times f (6)$ ，共有种不同的分割方案．

……

（结论）用 $n$ 边形的对角线把 $n$ 边形分割成 $(n - 2)$ 个三角形，共有多少种不同的分割方案 $(n \geq 4)$ ？（直接写出 $f (n)$ 与 $f (n - 1)$ 之间的关系式，不写解答过程）

（应用）用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论中的关系式求解）

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24. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 21 cm$ ， $A D = 12 cm$ ， $E$ 是 $C D$ 边上的一点， $D E = 16 cm$ ， $M$ 是 $B C$ 边的中点，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿边 $A B$ 以 $1 cm / s$ 的速度向终点 $B$ 运动，过点 $P$ 作 $P H ⊥ A E$ 于点 $H$ ，连接 $E P$ ，设动点 $P$ 的运动时间是 $t (s) (0 < t < 21)$ ．

(1)、求 $t$ 为何值时， $P M ⊥ E M$ ？

(2)、设 $△ E H P$ 的面积为 $y ({cm}^{2})$ ，写出 $y ({cm}^{2})$ 与 $t (s)$ 之间的函数关系式；

(3)、当 $E P$ 平分四边形 $P M E H$ 的面积时，求 $t$ 的值；

(4)、是否存在时刻 $t$ ，使得点 $B$ 关于 $P E$ 的对称点 $B^{'}$ ，落在线段 $A E$ 上，若存在，求出 $t$ 值，若不存在，说明理由．

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甲	乙	丙	丁	戊	方差	平均成绩
81	79	■	80	82	■	80