山东省青岛市崂山区2021年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-29 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. $- \frac{1}{2021}$ 的倒数的相反数是（）

A、 $- 2021$ B、 $\frac{1}{2021}$ C、2021 D、 $- \frac{1}{2021}$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ B、 ${(- a^{2})}^{3} = a^{6}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ D、 ${(3 a)}^{2} = 9 a^{2}$

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4. 若一个几何体由6个大小相同的小立方体搭成，如图是这个几何体的俯视图，则该几何体的左视图不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 为深入贯彻习近平总书记关于教育的重要论述，全面贯彻党的教育方针，落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某学校倡议学生参加家务劳动，小明记录了连续五个周的劳动时间（单位：小时）分别为13，9，11，13，14，则这组数据的中位数和方差为（）

A、13，3.2 B、11，3.2 C、11，3 D、13，3

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6. 如图，点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $P^{'}$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $P^{'}$ 按逆时针方向旋转90°，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则点 $A$ 的对应点 $A^{'}$ 的坐标是（）．

A、 $(0 ， 4)$ B、 $(- 2 ， 2)$ C、 $(4 ， 0)$ D、 $(2 ， - 2)$

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7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A C$ 为对角线， $A B = 2$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，以 $B$ 为圆心， $A B$ 长为半径画弧，交 $A C$ 于点 $M$ ，交 $B C$ 于点 $N$ ，则阴影部分的面积为（）

A、 $\sqrt{3} + \frac{π}{6}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\sqrt{3} - \frac{π}{3}$

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8. 已知反比例函数 y＝ $\frac{a b}{x}$ 的图象如图所示，则二次函数 y =ax ²－2x和一次函数 y＝bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 中国财政部2021年4月21日发布数据显示，前三个月，教育支出9005亿元，同比增长13.8%，“9005亿”用科学记数法可表示为．

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10. 计算： $| \sqrt{3} - 2 | + \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} =$ ．

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11. 若抛物线 $y = x^{2} + 2 (k - \frac{1}{4}) x + k^{2}$ （ $k$ 为常数）的图象与 $x$ 轴没有交点，则 $k$ 取值范围为．

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12. 分式方程 $\frac{x}{2 x - 1} - \frac{5}{1 - 2 x} = 2$ 的实数根为．

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13. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形， $D B$ 平分 $∠ A D C$ ，连结 $O C$ ， $B D$ ， $O C ⊥ B D$ ，若 $∠ A$ 等于69°，则 $∠ A D B$ 的度数为°．

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14. 如图，矩形纸片 $A B C D$ ， $A D = 12$ ， $A B = 4$ ，点 $E$ 在线段 $B C$ 上，将 $△ E C D$ 沿 $D E$ 向上翻折，点 $C$ 的对应点 $C^{'}$ 落在线段 $A D$ 上，点M，N分别是线段 $A D$ 与线段 $B C$ 上的点，将四边形 $A B N M$ 沿 $M N$ 向上翻折，点 $B$ 恰好落在线段 $D E$ 的中点 $B^{'}$ 处．则线段 $M N$ 的长．

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三、解答题

15. 求作： $∠ A$ ，使得 $∠ A = 30 °$ ．
请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

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16.

(1)、计算： $(\frac{a + 2}{a - 3} - 1) \div (\frac{a^{2} - 3 a}{a^{2} - 6 a + 9})$ ．

(2)、求出不等式组： ${\begin{array}{l} 3 - 2 x \leq 5 \\ \frac{2}{3} x + 2 > 2 x \end{array}$ 的整数解．

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17. 从－3，－1，1，3中任取一个值作为横坐标 $a$ ，不放回再任取一个作为纵坐标 $b$ ，请用树状图或列表的方法求点 $M (a ， b)$ 在双曲线 $y = \frac{3}{x}$ 的图象上的概率．

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18. 如图， $A$ ， $B$ ， $C$ 为同一条直线上的三棵树，在点 $D$ 处测得点 $A$ 在正北57米处，点 $B$ 在北偏西45°，在 $E$ 处测得点 $C$ 在北偏西32°， $D$ 在北偏东67°， $D E = 39$ 米，求 $B$ ， $C$ 两棵树之间距离．
（ $sin 32 ° \approx \frac{17}{32}$ ， $cos 32 ° \approx \frac{17}{20}$ ， $tan 32 ° \approx \frac{5}{8}$ ， $sin 67 ° \approx \frac{12}{13}$ ， $cos 67 ° \approx \frac{5}{13}$ ， $tan67 ° \approx \frac{12}{5}$ ）

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19. 4月22日是“世界地球日”，学校组织有关知识竞赛，现从中抽取部分学生成绩作为样本，按“优秀”、“良好”、“合格”、“不合格”四个等级进行统计，绘制了如下不完整统计图，

竞赛成绩统计表
等级	频数	频率
优秀	60	$a$
良好	$b$	0.35
合格	$c$	0.25
不合格	20	$d$
合计	$e$	1

(1)、

a =

．

d =

．

(2)、补全条形统计图．

(3)、参加抽样的学生是全校人数的25%，估计全校总人数．

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20. 已知：平行四边形 $A B C D$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ． $E$ 是 $A D$ 的中点，连接 $O E$ 并延长至 $F$ 使得 $O E = E F$ ，连接 $F D$ ， $F C$ ， $F C$ 交 $B D$ 于点 $G$ ．

求证：

(1)、 $△ F G D ≌ △ C G O$ ．

(2)、当 $A B$ 与 $A C$ 有怎样的数量关系时，四边形 $F O C D$ 是菱形，并说明理由．

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21. 甲乙两地相距450千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，折线 $O A B$ 表示货车离甲地的路程 $y$ （千米）与所用时间 $x$ （小时）之间的函数关系，线段 $C D$ 表示轿车离甲地的路程 $y$ （千米）与 $x$ （小时）之间的函数关系， $C (1 ， 0)$ ，根据图象解答下列问题：

(1)、求线段 $A B$ 对应的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围．

(2)、在轿车追上货车后至到达乙地前，何时轿车在货车前105千米．

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22. 某件热销商品，经调查发现某月（按30天计）前5天销售价格

p

（元/件）和销量

q

（件）与第

x

天的关系如下表：

第 $x$ 天	1	2	3	4	5
销售价格 $p$ （元/件）	2	3	4	5	6
销量 $q$ （件）	70	75	80	85	90

物价部门发现这种现象后，统一规定每件商品销售价格不得高于1元/件，从第6天起将该商品调整为1元/件．据统计，该商品从第6天起销量 $q$ （件）与第 $x$ 天的关系为 $q = - 2 x^{2} + 80 x - 200$ （ $6 \leq x \leq 30$ ，且 $x$ 为整数），已知该商品的进货价格为0.5元/件．

(1)、该商品前5天的销售价格

p

与

x

和销量

q

与

x

满足一次函数关系式，请直接写出它们的函数关系式．

(2)、求该店前5天获得的利润

W_{1}

（元），第6到第30天获得的利润

W_{2}

（元）与

x

的函数关系式，判断第几天的利润最大，并求出最大利润．

(3)、这个月中调整价格后商家每天还能盈利不低于275元的天数有多少天？

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23. （问题提出） $| a - 1 | + | a - 2 | + | a - 3 | + \cdot \cdot \cdot + | a - 2021 |$ 的最小值是多少？
（阅读理解）

为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手． $| a |$ 的几何意义是 $a$ 这个数在数轴上对应的点到原点的距离．那么 $| a - 1 |$ 可以看做 $a$ 这个数在数轴上对应的点到1的距离． $| a - 1 | + | a - 2 |$ 就可以看作 $a$ 这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究 $| a - 1 | + | a - 2 |$ 的最小值．

我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示：

⑴如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．

⑵如图②，a在1和2之间（包括在1，2上），可以看出 $a$ 到1和2的距离之和等于1．

⑶如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出 $a$ 到1和2的距离之和大于1．

所以 $a$ 到1和2的距离之和最小值是1．

（问题解决）

(1)、 $| a - 3 | + | a - 6 |$ 的几何意义是．
请你结合数轴探究： $| a - 3 | + | a - 6 |$ 的最小值是．

(2)、请你结合图④探究： $| a - 1 | + | a - 2 | + | a - 3 |$ 的最小值是，此时a为．

(3)、 $| a - 1 | + | a - 2 | + | a - 3 | + | a - 4 | + | a - 5 | + | a - 6 |$ 的最小值为．

(4)、 $| a - 1 | + | a - 2 | + | a - 3 | + \cdot \cdot \cdot + | a - 2021 |$ 的最小值为．

(5)、（拓展应用）
如图⑤，已知 $a$ 到－1，2的距离之和小于4，请写出 $a$ 的范围为．

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24. 如图所示，已知： $R t △ A B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 8 cm$ ， $B C = 6 cm$ ， $D$ 是 $A C$ 边上的中点．过点 $C$ 作 $A C$ 的垂线 $C E$ ，过点 $D$ 作 $B C$ 的平行线，交 $C E$ 于点 $E$ ，点 $Q$ 从点 $E$ 出发沿 $E D$ 方向往点 $D$ 匀速运动，速度为 $2 cm/s$ ，同时点 $P$ 从点 $B$ 出发沿 $B C$ 方向往点 $C$ 匀速运动，速度为 $1 cm/s$ ．连接 $P Q$ ，过点 $Q$ 作 $Q H ⊥ C E$ 于点 $H$ ， $F$ 是线段 $C E$ 的中点．设运动时间为 $t (s)$ ，解答下列问题：

(1)、当 $t$ 为何值时，四边形 $Q P C E$ 为平行四边形？

(2)、求 $D E$ 的长度．

(3)、设 $△ P Q H$ 的面积为 $S$ ，写出 $S$ 与 $t$ 的函数关系式，当 $t$ 为何值时 $S$ 取得最大值．

(4)、当 $t$ 为何值时， $A$ ， $Q$ ， $F$ 三点在同一条直线上？

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