江苏省南通市如皋市2020-2021学年高一上学期数学第三次月考试卷

试卷更新日期：2021-06-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设函数 $f (x) = \sqrt{x - 1}$ 定义域为A ，函数 $g (x) = \lg (9 - x^{2})$ 定义域为B ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 1 < x < 3}$ B、 ${x | 1 \leq x \leq 3}$ C、 ${x | 1 \leq x < 3}$ D、 ${x | 1 < x \leq 3}$

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2. 不等式 $\log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2 x) \leq - 3$ 的解集是（）

A、 $[- 2, 4]$ B、 $[- 4, 2]$ C、 $(- \infty, - 2] \cup [4, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 4] \cup [2, + \infty)$

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3. 若 $\cos (\frac{π}{12} - α) = \frac{1}{2}$ ，则 $\sin (\frac{5 π}{12} + α) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 在东方设计，存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为 $\sqrt{2} ： 1$ ，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.折扇纸面可看作是从一个扇形纸面中剪下小扇形纸面制作而成（如图）.设制作折扇时剪下小扇形纸面面积为 $S_{1}$ ，折扇纸面面积为 $S_{2}$ ，当 $\frac{S_{2}}{S_{1}} = \sqrt{2}$ 时，扇面看上去较为美观，那么制作折扇剪下小扇形半径与原扇形半径之比为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $2^{- \frac{1}{4}}$ D、 $\sqrt{\sqrt{2} - 1}$

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5. 函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ ， $x \in (0, π)$ 的单调增区间是（）

A、 $(0, \frac{5 π}{12}]$ B、 $[\frac{5 π}{12}, \frac{11 π}{12}]$ C、 $[\frac{11 π}{12}, π)$ D、 $(0, \frac{5 π}{12}]$ 和 $[\frac{11 π}{12}, π)$

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6. 若奇函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，且当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = x$ .则 $f (2021)$ 的值是（）

A、0 B、1 C、-1 D、 $\frac{1}{2}$

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7. 以下命题：①存在正数a ， b ，使得 $\ln (a + b) = \ln a + \ln b$ ；②幂函数 $y = x^{α}$ 图象与坐标轴无公共点的充要条件是 $α < 0$ ；③函数 $g (x) = 3^{x} - 2 x - 2$ 在 $[1 ， 2]$ 上有零点；④函数 $y = \sin (3 x - \frac{3 π}{4}) + 1$ 的对称中心为 $(\frac{π}{4} + \frac{k π}{3} ， 0)$ $(k \in Z)$ .其中正确的个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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8. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} {(x - a)}^{2}, x \leq 1 \\ x + \frac{9}{x + 1} + a, x > 1 \end{array}$ ，若 $f (1)$ 是 $f (x)$ 的最小值，则实数a的取值范围为是（）

A、 $[- 1, 4]$ B、 $[1, 4]$ C、 $[1, 5]$ D、 $[- 3, 1]$

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二、多选题

9. 下列能成为 $2^{x} > \frac{1}{4}$ 充分条件的是（）

A、 $| x - 1 | > 1$ B、 $10^{x} > 1000$ C、 $\frac{x - 1}{x^{2} + 1} > 0$ D、 $\log_{2} x > 1$

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10. 设 $a = \log_{2} 3$ ， $b = \log_{0.2} 3$ ，则（）

A、 $a b < 0$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} < 0$ C、 $a + b < 0 < a b$ D、 $a b < 0 < a + b$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} - \sin x$ ，下列说法中，正确的选项有（）

A、 $\exists x \in (0 ， \frac{π}{2}]$ ， $f (x) < - \frac{1}{2}$ B、 $\forall x \in [\frac{π}{2} ， \frac{2 π}{3}]$ ， $f (x) > 0$ C、 $f (x)$ 为奇函数 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， 2 π)$ 上有两个零点

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12. 拉普拉斯称赞对数是一项“使天文学家寿命倍增”的发明，对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减运算.2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能围棋复杂度的上限约为 $M = 3^{361}$ ，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数约为 $N = 10^{80}$ .（参考数据： $\lg 2 = 0.301$ ， $\lg 3 = 0.477$ .）若两数常用对数之差的绝对值不超过1，则称两数“可相互替代”.下列数值与 $\frac{M}{N}$ 的值“可相互替代”的有（）

A、 $10^{91}$ B、 $10^{92}$ C、 $10^{93}$ D、 $10^{94}$

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三、填空题

13. 已知实数x ， y满足： $x^{2} + 9 y^{2} = 1$ ，则 $x y$ 的最大值为.

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14. 先将函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 的解析式为.

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15. 若x ， y为正数，满足 $x + y = 23 \sqrt{x y}$ ，则 $\frac{\log_{3} \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{5}}{\log_{3} x + \log_{3} y} =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} + 1)$ ，则使得不等式 $f (2) > f (x + 1) + x^{2} + 2 x - 3$ 成立的x的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | \frac{x - 2 a}{x - 8} < 0}$ ，集合 $B = {x | (x - 2 a) [x - (a^{2} + 1)] < 0}$ ，其中a为实数.

(1)、若 $a = - 2$ ，求集合 $∁_{A} B$ ；

(2)、若 $a < 4$ 且 $A \cup B = B$ ，求实数a的取值范围.

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18. 在平面直角坐标系中，已知角α的终边与单位圆交于点 $P (m ， n)$ （ $n > 0$ ），将角α的终边按逆时针方向旋转 $\frac{π}{2}$ 后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为Q.

(1)、若 $m = \frac{4}{5}$ ，求Q点的坐标；

(2)、若 $\sin β + \cos β = - \frac{7}{13}$ ，求 $\tan α$ 的值.

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19. 请从下列条件中选取一个条件补充在横线上，并解决你组成的问题：① $f (2) = 0$ ；②m是满足 $f (4) \leq 15$ 的最大正整数；③m是满足 $f (- 1) \geq - 15$ 的最小正整数.问题：已知函数 $f (x) = x^{m} - \frac{16}{x^{2}}$ ，且__________.

(1)、判定 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明.

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20. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：

时刻	0：00	1：00	2：00	3：00	4：00	5：00
水深	5.000	6.250	7.165	7.500	7.165	6.250
时刻	6：00	7：00	8：00	9：00	10：00	11：00
水深	5.000	3.754	2.835	2.500	2.835	3.754
时刻	12：00	13：00	14：00	15：00	16：00	17：00
水深	5.000	6.250	7.165	7.500	7.165	6.250
时刻	18：00	19：00	20：00	21：00	22：00	23：00
水深	5.000	3.754	2.835	2.500	2.835	3.754

(1)、这个港口的水深与时间的关系可用函数

y = A \sin (ω x + φ) + b

（

A > 0

，

ω > 0

）近似描述，试求出这个函数解析式；

(2)、一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），利用（1）中的函数计算，该船何时能进入港口？在港口最多能呆多久？

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21. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + \cos x - a$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，
（i）求 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{2}, π]$ 上的值域；

（ii）证明：函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{2}, π]$ 上只有一个零点；

(2)、试讨论 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上的零点个数.

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22. 已知函数 $f (x) = 3^{x} + k \times 3^{- x}$ ，其中 $k$ 为常数，若函数 $f (x)$ 在区间 $I$ 上：满足 $f (- x) = - f (x)$ ，则称函数 $f (x)$ 为 $I$ 上的“局部奇函数”；满足 $f (- x) = f (x)$ ，则称函数 $f (x)$ 为 $I$ 上的“局部偶函数”.

(1)、若 $f (x)$ 为 $[- 3, 3]$ 上的“局部奇函数”，当 $x \in [- 3, 3]$ 时，解不等式 $f (x) > 2$ ；

(2)、已知函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上是“局部奇函数”，在区间 $[- 3, - 1) \cup (1, 3]$ 上是“局部偶函数”， $F (x) = {\begin{array}{l} f (x), x \in [- 1, 1] \\ f (x), x \in [- 3, - 1) \cup (1, 3] \end{array}$ ，对于 $[- 3, 3]$ 上任意实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，不等式 $F (x_{1}) + F (x_{2}) > m F (x_{3})$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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