山东省菏泽市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-28 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 如图，点A所表示的数的倒数是（）

A、3 B、﹣3 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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2. 下列等式成立的是（）

A、 $a^{3} + a^{3} = a^{6}$ B、 $a \cdot a^{3} = a^{3}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ D、 ${(- 2 a^{3})}^{2} = 4 a^{6}$

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3. 如果不等式组 ${\begin{array}{l} x + 5 < 4 x - 1 \\ x > m \end{array}$ 的解集为 $x > 2$ ，那么 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \leq 2$ B、 $m \geq 2$ C、 $m > 2$ D、 $m < 2$

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4. 一副三角板按如图方式放置，含 $45 °$ 角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边平行，则 $∠ α$ 的度数是（）

A、 $10 °$ B、 $15 °$ C、 $20 °$ D、 $25 °$

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5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（）

A、 $12 π$ B、 $18 π$ C、 $24 π$ D、 $30 π$

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6. 在2021年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：

成绩（次）

12

11

10

9

人数（名）

1

3

4

2

关于这组数据的结论错误的是（）

A、中位数是10.5 B、平均数是10.3 C、众数是10 D、方差是0.81

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7. 关于 $x$ 的方程 ${(k - 1)}^{2} x^{2} + (2 k + 1) x + 1 = 0$ 有实数根，则k的取值范围是（）

A、 $k > \frac{1}{4}$ 且 $k \neq 1$ B、 $k \geq \frac{1}{4}$ 且 $k \neq 1$ C、 $k > \frac{1}{4}$ D、 $k \geq \frac{1}{4}$

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8. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 在第一象限，且 $B C // x$ 轴，直线 $y = 2 x + 1$ 沿 $x$ 轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形 $A B C D$ 截得的线段长为 $a$ ，直线在 $x$ 轴上平移的距离为 $b$ ， $a$ 、 $b$ 间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、8 D、10

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二、填空题

9. 2021年5月11日，国家统计局、国务院第七次全国人口普查领导小组办公室对外发布：截至2020年11月1日零时，全国人口共约1410000000人．数据1410000000用科学记数法表示为．

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10. 因式分解： $- a^{3} + 2 a^{2} - a =$ ．

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11. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 30 °$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $A C$ 、 $B C$ 的中点， $D E = 2$ ，过点 $B$ 作 $B F // A C$ ，交 $D E$ 的延长线于点 $F$ ，则四边形 $A B F D$ 的面积为．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，垂足为 $D$ ， $A D = 5$ ， $B C = 10$ ，四边形 $E F G H$ 和四边形 $H G N M$ 均为正方形，且点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 、 $N$ 、 $M$ 都在 $△ A B C$ 的边上，那么 $△ A E M$ 与四边形 $B C M E$ 的面积比为．

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13. 定义： $[a ， b ， c]$ 为二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）的特征数，下面给出特征数为 $[m ， 1 - m ， 2 - m]$ 的二次函数的一些结论：①当 $m = 1$ 时，函数图象的对称轴是 $y$ 轴；②当 $m = 2$ 时，函数图象过原点；③当 $m > 0$ 时，函数有最小值；④如果 $m < 0$ ，当 $x > \frac{1}{2}$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小，其中所有正确结论的序号是．

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14. 如图，一次函数 $y = x$ 与反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象交于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $A B ⊥ O A$ ，交 $x$ 轴于点 $B$ ；作 $B A_{1} // O A$ ，交反比例函数图象于点 $A_{1}$ ；过点 $A_{1}$ 作 $A_{1} B_{1} ⊥ A_{1} B$ 交 $x$ 轴于点 $B$ ；再作 $B_{1} A_{2} // B A_{1}$ ，交反比例函数图象于点 $A_{2}$ ，依次进行下去，……，则点 $A_{2021}$ 的横坐标为．

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三、解答题

15. 计算： ${(2021 - π)}^{0} - | 3 - \sqrt{12} | + 4 \cos 30 ° - {(\frac{1}{4})}^{- 1}$ ．

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16. 先化简，再求值： $1 + \frac{m - n}{m - 2 n} \div \frac{n^{2} - m^{2}}{m^{2} - 4 m n + 4 n^{2}}$ ，其中 $m$ ， $n$ 满足 $\frac{m}{3} = - \frac{n}{2}$ ．

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17. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点 $M$ 、 $N$ 分别在 $A B$ 、 $C B$ 上，且 $∠ A D M = ∠ C D N$ ，求证： $B M = B N$ ．

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18. 某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于 $A$ 处的济南舰突然发现北偏西 $30 °$ 方向上的 $C$ 处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里 $B$ 处的西安舰，西安舰测得 $C$ 处位于其北偏西 $60 °$ 方向上，请问此时两舰距 $C$ 处的距离分别是多少？

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19. 列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：

小王：该水果的进价是每千克22元；

小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．

根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？

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20. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $O A B C$ 的两边 $O C$ 、 $O A$ 分别在坐标轴上，且 $O A = 2$ ， $O C = 4$ ，连接 $O B$ ．反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象经过线段 $O B$ 的中点 $D$ ，并与 $A B$ 、 $B C$ 分别交于点 $E$ 、 $F$ ．一次函数 $y = k_{2} x + b$ 的图象经过 $E$ 、 $F$ 两点．

(1)、分别求出一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点，当 $P E + P F$ 的值最小时，点 $P$ 的坐标为．

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21. 2021年5月，菏泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机抽取了部分参加15米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)、请把条形统计图补充完整；

(2)、合格等级所占百分比为%；不合格等级所对应的扇形圆心角为度；

(3)、从所抽取的优秀等级的学生 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ……中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到 $A$ 、 $B$ 两位同学的概率．

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22. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 是直径，弦 $C D ⊥ A B$ ，垂足为 $H$ ， $E$ 为 $\overset{⌢}{B C}$ 上一点， $F$ 为弦 $D C$ 延长线上一点，连接 $F E$ 并延长交直径 $A B$ 的延长线于点 $G$ ，连接 $A E$ 交 $C D$ 于点 $P$ ，若 $F E = F P$ ．

(1)、求证： $F E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为8， $\sin F = \frac{3}{5}$ ，求 $B G$ 的长．

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23. 在矩形 $A B C D$ 中， $B C = \sqrt{3} C D$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是边 $A D$ 、 $B C$ 上的动点，且 $A E = C F$ ，连接 $E F$ ，将矩形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠，点 $C$ 落在点 $G$ 处，点 $D$ 落在点 $H$ 处．

(1)、如图1，当 $E H$ 与线段 $B C$ 交于点 $P$ 时，求证： $P E = P F$ ；

(2)、如图2，当点 $P$ 在线段 $C B$ 的延长线上时， $G H$ 交 $A B$ 于点 $M$ ，求证：点 $M$ 在线段 $E F$ 的垂直平分线上；

(3)、当 $A B = 5$ 时，在点 $E$ 由点 $A$ 移动到 $A D$ 中点的过程中，计算出点 $G$ 运动的路线长．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4$ 交 $x$ 轴于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、点 $P$ 为第四象限内抛物线上一点，连接 $P B$ ，过点 $C$ 作 $C Q // B P$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，连接 $P Q$ ，求 $△ P B Q$ 面积的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，将抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4$ 向右平移经过点 $(\frac{1}{2} ， 0)$ 时，得到新抛物线 $y = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ ，点 $E$ 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点 $F$ ，使得以 $A$ 、 $P$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考：若点 $P_{1} (x_{1} ， y_{1})$ 、 $P_{2} (x_{2} ， y_{2})$ ，则线段 $P_{1} P_{2}$ 的中点 $P_{0}$ 的坐标为 $(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} ， \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$ ．

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成绩（次）	12	11	10	9
人数（名）	1	3	4	2