江苏省淮安市六校联盟2020-2021学年高一上学期数学第三次学情调查试卷

试卷更新日期：2021-06-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合M={1，2，3，4}，N={-2，2}，下列结论成立的是（）

A、N $\subseteq$ M B、M∪N=M C、M∩N=N D、M∩N={2}

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2. 设命题 $P ： \exists n \in N ， n^{2} > 2^{n}$ ，则 $\neg P$ 为（）

A、 $\forall n \in N ， n^{2} > 2^{n}$ B、 $\exists n \in N ， n^{2} \leq 2^{n}$ C、 $\forall n \in N ， n^{2} \leq 2^{n}$ D、 $\exists n \in N ， n^{2} = 2^{n}$

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3. $y = \frac{\lg (x + 1)}{x - 1}$ 的定义域为（）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $[- 1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， 1) \cup (1 ， + \infty)$

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4. 已知 $a = \log_{2} \frac{1}{2}$ ， $b = {(\frac{1}{2})}^{0.1}$ ， $c = {(\frac{2}{5})}^{- 2}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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5. 已知α是第二象限角， $P (x ， \sqrt{5})$ 为其终边上一点，且cosα= $\frac{\sqrt{2}}{4}$ x，则x等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $- \sqrt{3}$

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6. 已知曲线 $y = a^{x - 1} + 1 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 过定点 $(k, b)$ ，若 $m + n = b$ 且 $m > 0, n > 0$ ，则 $\frac{4}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为（）.

A、 $\frac{9}{2}$ B、9 C、5 D、 $\frac{5}{2}$

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7. 函数 $y = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (6 - a x)$ 在（0，2）上为减函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、（1，3] B、（1，3） C、（0，1） D、[3，+∞）

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二、多选题

9. 下列命题中，真命题的是（）

A、“ $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ”是“ $x = 3$ ”的必要条件 B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x - 2 < 0$ C、所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D、若 $a > b > 0$ ， $c < d < 0$ ，则 $\frac{a}{d} < \frac{b}{c}$

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10. 下列函数存在零点的是（）

A、 $y = x^{2} - \sqrt{2} x + 1$ B、 $y = 3 x^{2} - 3 x - 1$ C、 $y = x^{2} + a x - 2$ D、 $y = x^{2} - 4 x + 4$

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11. 关于函数 $f (x) = \frac{x}{| x | + 1} (x \in R)$ ，下面结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 是奇函数 B、函数 $f (x)$ 的值域为 $(- 1, 1)$ C、函数 $f (x)$ 在R上是增函数 D、函数 $f (x)$ 在R上是减函数

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12. 已知定义域为 $D$ 的函数 $f (x)$ ，若对任意 $x \in D$ ，存在正数 $M$ ，都有 $| f (x) | \leq M$ 成立，则称函数 $f (x)$ 是定义域 $D$ 上的“有界函数”.则下列函数中为“有界函数”的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$ B、 $f (x) = \frac{3 + x}{4 - x}$ C、 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}}^{(x^{2} - 2 x + 3)}$ D、 $f (x) = 10 - 2^{- x^{2} + 4 x}$

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三、填空题

13. $\lg \sqrt{5} + \lg \sqrt{20}$ 的值是.

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14. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(4 ， \frac{1}{2})$ ，则 $f (8) =$ .

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15. 已知一扇形的圆心角为 $\frac{π}{3}$ ，弧长是 $π cm$ ，则扇形的面积是 ${cm}^{2}$ ．

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16. 定义在R上的偶函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x + 1}$ ，若不等式 $f (\lg x) > 1$ ，则x的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 3 < x < 2}, B = {x | 1 \leq x \leq 3}$ ， $C = {x | x > 2 a - 1}$ .

(1)、求 $C_{U} B$ ， $A \cap (C_{U} B)$ ；

(2)、若 $A \cap C = A$ ，求实数a的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (4 + x)$ ， $g (x) = \log_{a} (4 - x) (a > 0 ， a \neq 1)$

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $y = f (x) + g (x)$ 的定义域和值域.

(2)、求使 $f (x) - g (x) > 0$ 成立的x的取值范围

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19.

(1)、若 $\sin α = 2 \cos α$ ，求 $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α} + \cos^{2} α$ 的值；

(2)、已知 $\sin α + \cos α = \frac{7}{13}$ ， $α \in (0, π)$ ，求 $\sin α - \cos α$ 的值.

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20. 2015年10月，屠呦呦获得诺贝尔生理学或医学奖，理由是她发现了青蒿素，这种药品可以有效降低疟疾患者的死亡率，她成为首获科学类诺贝尔奖的中国人 $．$ 从青篙中提取的青篙素抗疟性超强，几乎达到 $100 ％$ ，据监测：服药后每毫升血液中的含药量 $y ($ 微克 $)$ 与时间 $t ($ 小时 $)$ 之间近似满足如图所示的曲线．

(1)、写出第一次服药后y与t之间的函数关系式 $y = f (t)$ ；

(2)、据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于 $\frac{1}{9}$ 微克时，治疗有效，求服药一次后治疗有效的时间是多长？

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21. 已知定义在区间 $(- 1 ， 1)$ 上的函数 $f (x) = \frac{x + a}{x^{2} + 1}$ 为奇函数.

(1)、求实数a的值；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 1)$ 上的单调性；

(3)、解关于 $t$ 的不等式 $f ({(\frac{1}{2})}^{t} - 1) + f ({(\frac{1}{2})}^{t}) < 0$ .

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22. 设函数 $f (x) = 2^{x} + (p - 1) \cdot 2^{- x}$ 是定义域为R的偶函数.

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、若 $g (x) = f (2 x) - 2 k \cdot (2^{x} - 2^{- x})$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上最小值为 $- 4$ ，求k的值；

(3)、若不等式 $f (2 x) > m \cdot f (x) - 4$ 对任意实数x都成立，求实数m的范围.

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