上海市杨浦区2021年中考数学三模试卷

试卷更新日期：2021-06-28 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在下列四个实数中，最小的数是（）

A、 $- 2$ B、 $\frac{1}{3}$ C、0 D、 $\sqrt{3}$

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2. 在下列二次根式中，与 $\sqrt{a}$ 是同类二次根式的是( )

A、 $\sqrt{2} a$ B、 $\sqrt{3 a^{2}}$ C、 $\sqrt{a^{3}}$ D、 $\sqrt{a^{4}}$

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3. 将抛物线 $y = x^{2}$ 向左平移2个单位后，所得新抛物线的解析式是（）

A、 $y = x^{2} - 2$ B、 $y = x^{2} + 2$ C、 $y = {(x - 2)}^{2}$ D、 $y = {(x + 2)}^{2}$

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4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在平面直角坐标系中，以点 $A (2 ， 1)$ 为圆心，1为半径的圆与 $x$ 轴的位置关系是（）

A、相离 B、相切 C、相交 D、不确定

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6. 已知在四边形ABCD中，AB//CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）

A、AD=BC B、AC=BD C、∠A=∠C D、∠A=∠B

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二、填空题

7. 当 $x < 1$ 时，化简： $| x - 1 | =$ ．

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8. 计算： $(2 a + b) (2 a - b) =$ ．

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9. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x - 6}$ ，那么 $f (10) =$ ．

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10. 正八边形的中心角为度．

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11. 已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为 $α$ ，那么 $\sin α =$ ．

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12. 已知一组数据24、27、19、13、23、12，那么这组数据中的中位数是．

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13. 在英语句子“Wish you success”（祝你成功）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是.

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14. 已知直线 $y = k x + b$ 在 $y$ 轴上的截距为3，且经过点 $(1 ， 4)$ ，那么这条直线的表达式为．

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15. 用换元法解方程 $\frac{x - 1}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x - 1} + 2 = 0$ 时，如果设 $\frac{x - 1}{x^{2}} = y$ ，那么原方程可化为关于 $y$ 的整式方程为．

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16. 已知△ABC中，点D在边BC上，且BD=2DC ．设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，那么等于(结果用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示)；

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17. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形 $A B C D$ 、正方形 $E F G H$ 、正方形 $M N K T$ 的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，如果 $S_{1} + S_{2} + S_{3} = 48$ ，那么 $S_{2}$ 的值是．

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18. 如图，已知在等边△ABC中，AB＝4，点P在边BC上，如果以线段PB为半径的⊙P与以边AC为直径的⊙O外切，那么⊙P的半径长是．

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三、解答题

19. 先化简，再求值： $\frac{x}{x + 2} - \frac{1}{x - 1} \div \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，其中 $x = \sqrt{3}$ ．

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20. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 (x + 2) > x - 2 \\ x - \frac{2}{3} \leq \frac{1 + x}{2} \end{array}$ 并将解集在数轴上表示出来．

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21. 如图，已知在⊙O中，OD⊥AB ，垂足为点D ， DO的延长线与⊙O相交于点C ，点E在弦AB的延长线上，CE与⊙O相交于点F ， AB＝CD＝8，tanC＝1

(1)、求⊙O的半径长；

(2)、求 $\frac{C F}{E F}$ 的值．

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22. 阅读下列有关记忆的资料，分析保持记忆的措施和方法．资料：德国心理学家艾宾浩斯对人的记忆进行了研究，他采用无意义的音节作为记忆的材料进行实验，获得了如下表中的相关数据，然后他又根据表中的数据绘制了一条曲线，这就是著名的艾宾浩斯遗忘曲线．其中横轴表示时间，纵轴表示学习中的记忆量．

时间	记忆量
刚记忆完	100%
20分钟后	58.2%
1小时后	44.2%
9小时后	35.8%
1天后	33.7%
2天后	27.8%
6天后	25.4%
30天后	21.1%

观察表格和图像，回答下列问题：

(1)、图中点A的坐标表示的实际意义是；

(2)、在下面哪个时间段内遗忘的速度最快（）

A、0—20分钟； B、20分钟—1小时 C、1小时9小时； D、1天—2天．

(3)、王老师每节数学课最后五分钟都会对本节课进行回顾总结，并要求学生每天晚上对当天课堂上所学的知识进行复习．据调查这样一天后记忆量能保持98%．如果小明同学一天没有复习，那么记忆量大约会比复习过的记忆量减少多少？由此对你的学习有什么启示？

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23. 已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC ，垂足为点D ， AD＝BD ，点E为边AD上一点，且DE＝DC ，连接BE并延长，交边AC于点F ．

(1)、求证：BF⊥AC；

(2)、过点A作BC的平行线交BF的延长线于点G ，连接CG ．如果 $D E^{2} = A E \cdot A D$ ，求证：四边形ADCG是矩形．

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24. 如图，已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 2)$ ．

(1)、求这条抛物线的表达式；

(2)、如果将抛物线向下平移 $m$ 个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在线段 $B C$ 上，求 $m$ 的值；

(3)、如果点 $P$ 是抛物线位于第一象限上的点，联结 $P A$ ，交线段 $B C$ 于点 $E$ ，当 $P E ： A E = 4 ： 5$ 时，求点 $P$ 的坐标．

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25. 已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，cosB＝ $\frac{4}{5}$ ，点D是边BC上一点，过点D作DE⊥AB ，垂足为点E ，点F是边AC上一点，联结DF、EF ，以DF、EF为邻边作平行四边形EFDG ．

(1)、如图1，如果CD＝2，点G恰好在边BC上，求∠CDF的余切值；

(2)、如图2，如果AF＝AE ，点G在△ABC内，求线段CD的取值范围；

(3)、在第（2）小题的条件下，如果平行四边形EFDG是矩形，求线段CD的长．

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