江苏省百校联考2020-2021学年高一上学期数学第二次考试试卷

试卷更新日期：2021-06-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(\sqrt[3]{a})}^{3} = a$ C、 $\sqrt{a^{2}} = a$ D、 ${(- 2 a^{3})}^{2} = - 4 a^{6}$

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2. 托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花.”请根据函数的概念判断：下列对应是集合 $M = {- 1, 2, 4}$ 到集合 $N = {1, 2, 4, 16}$ 的函数的是（）

A、 $x \to 2 x$ B、 $x \to x + 2$ C、 $x \to x^{2}$ D、 $x \to 2^{x}$

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3. 命题：“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} > 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} \leq 0$ B、不存在 $x \in R$ ， $x^{2} \leq 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} > 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} \leq 0$

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4. 将函数 $y = f (x)$ 的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象恰好与函数 $y = 2^{x}$ 的图象重合，则函数 $y = f (x)$ 的解析式是（）

A、 $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ B、 $f (x) = 2^{x + 1} + 1$ C、 $f (x) = 2^{x - 1} - 1$ D、 $f (x) = 2^{x + 1} - 1$

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5. 若 $a > b$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $\ln (a - b) > 0$ B、 $3^{a} < 3^{b}$ C、 $a^{3} > b^{3}$ D、 $| a | > | b |$

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6. 函数 $y = \frac{1}{4 - x^{2}}$ 的图像大致为（）

A、 B、
C、 D、

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7. 在考古学中，要测定古物的年代，可以用放射性碳定年法：在动植物的体内都含有微量的放射性 ${}^{14}C$ ，动植物死亡后，停止新陈代谢， ${}^{14}C$ 不再产生，且原有的 ${}^{14}C$ 会自动衰变.经科学测定， ${}^{14}C$ 的半衰期为5730年（设 ${}^{14}C$ 的原始量为1，经过x年后， ${}^{14}C$ 的含量 $f (x) = a^{x}$ 且有 $f (5730) = \frac{1}{2}$ ）.现有一古物，测得其 ${}^{14}C$ 的含量为原始量的79.37%，则该古物距今约多少年？（）
（参考数据： $\sqrt[3]{\frac{1}{2}} \approx 0.7937$ ， $\sqrt[5730]{\frac{1}{2}} \approx 0.9998$ ）

A、1910 B、3581 C、9998 D、17190

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8. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2^{x}}$ ，若 $f (a - 1) + f (2 a^{2}) \leq 0$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{2}]$ B、 $[- 1, \frac{1}{2}]$ C、 $[- \frac{1}{2}, 1]$ D、 $(- \infty, - 1] \cup [\frac{1}{2}, + \infty)$

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二、多选题

9. 已知集合 $A = [- 1 ， 0]$ ， $B = (- 1 ， 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $∁_{R} A \subseteq ∁_{R} B$ B、 $A \cap B = A$ C、 $A \cup B = B$ D、 $(∁_{R} A) \cap B = \emptyset$

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10. 对于定义在R上的函数 $f (x)$ ，下列说法错误的是（）

A、若 $f (- 2) = f (2)$ ，则 $f (x)$ 是偶函数 B、若 $f (- 2) < f (2)$ ，则 $f (x)$ 是增函数 C、若 $f (x)$ 是奇函数，则 $f (- 2) = - f (2)$ D、若 $f (x)$ 是单调函数，则 $f (- 2) \neq f (2)$

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11. 已知p： $1 \leq x \leq 2$ ，q： $(a x - 1) (x - 3) \leq 0$ ，若p是q成立的充分不必要条件，则a的值可以是（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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12. 在数学中，我们经常遇到定义（definition）.定义是对某些对象标明符号，指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵.若函数 $y = f (x)$ 满足 $f (\frac{1}{x}) = - f (x)$ ，则称函数 $y = f (x)$ 为“ $C$ 函数”.下列四个函数中是“ $C$ 函数”的为（）

A、 $f (x) = \ln x$ B、 $f (x) = 2^{x}$ C、 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， 0 < x < 1 \\ 0 ， x = 1 \\ - x^{- 1} ， x > 1 \end{array}$

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三、填空题

13. 命题：“若 $x > 0$ ，则 $| x | \geq 0$ ”为命题.（填“真”或“假”）

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14. 函数 $y = x + \frac{16}{x - 1} (x > 1)$ 的最小值为.

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15. 某公司2013年产值为2000万元，2019年产值为8000万元，则年产值的平均每年的增长率是.

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16. 已知函数 $f (x) = a^{x - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} - 1$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象过定点P，且点P在幂函数 $h (x) = x^{a}$ 的图象上，则 $a =$ .

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四、解答题

17.

(1)、化简： $(a^{- 2}) \cdot (- 12 a^{- 1}) \div (4 a^{- 4})$ ；

(2)、求值： ${(\lg 2)}^{2} + \lg 5 \times \lg 20 + \lg 0.1 + 2^{\log_{2} 5}$ .

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18. 已知集合 $A = {x | 1 < 2^{x - 1} < 4}$ ， $B = {y | y = \log_{2} x, 1 < x \leq 16}$ .

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、若集合 $C = {x | 2 a - 1 < x < a + 1}$ 不是空集，且 $C \subseteq A$ ，求实数a的取值范围.

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19. ①函数 $f (x)$ 的最小值为1；②函数 $f (x)$ 的图象过点 $(- 2, 2)$ ；③函数 $f (x)$ 的图象与y轴交点的纵坐标为2.在这三个条件中任选一个，将下面问题补充完整，并求解.
问题：二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 满足 $f (x + 1) - f (x) = 2 x + 3$ ，且_____________（填所选条件的序号）

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - x^{2} - x - 2 + \frac{k}{x}$ ，若 $g (x) < - x + \frac{1}{x} + 6$ 在 $[1, 4]$ 上恒成立，求实数k的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = 2^{| x |} - \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

(1)、判断并证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上的单调性（不必写出过程），并解不等式 $f (x - 1) > f (2 x)$ .

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21. 某群体的人均通勤时间是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S中 $x %$ （ $0 < x < 100$ ）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间 $f (x) = {\begin{array}{l} 30, 0 < x \leq 30 \\ 2 x + \frac{1800}{x} - 90, 30 < x < 100 \end{array}$ （单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟.试根据上述分析结果回答下列问题：

(1)、求自驾群体的人均通勤时间的最小值；

(2)、试确定x的值，使得该地上班族S的人均通勤时间最少.
（注：该地上班族S的人均通勤时间为 $f (x) \cdot x % + 40 \cdot (1 - x %)$ ）

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22. 对于等式 $a^{b} = c$ （ $a > 0$ ， $a \neq 1$ ），如果将a视为自变量x，b视为常数，c为关于a（即x）的函数，记为y，那么 $y = x^{b}$ 是幂函数；如果将a视为常数，b视为自变量x，c为关于b（即x）的函数，记为y，那么 $y = a^{x}$ 是指数函数；如果将a视为常数，c视为自变量x，b为关于c（即x）的函数，记为y，那么 $y = \log_{a} x$ 是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.如果c为常数e（e为自然对数的底），将a视为自变量x（ $x > 0$ ， $x \neq 1$ ），则b为x的函数，记为y，那么 $x^{y} = e$ ，记将y表示成x的函数为 $f (x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式，并作出其图象；

(2)、
若 $m > n > 0$ 且均不等于1，且满足 $| f (m) | = | f (n) |$ ，求证： $m + 4 n^{2} \geq 3$ .

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