河北省迁安市2021年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-28 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 如果a与b互为相反数，下列各式中错误的是（）

A、 $a + b = 0$ B、 $| a | = | b |$ C、 $a = - b$ D、 $a = \frac{1}{b}$

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2. 如图1，该几何体是由5个棱长为1个单位长度的正方体摆放而成，将正方体A两次平移后所得的几何体如图2，下列关于视图的说法正确的是（）

A、主视图改变，俯视图改变 B、主视图不变，俯视图不变 C、主视图改变，俯视图不变 D、主视图不变，俯视图改变

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{16} = \pm 4$ B、 $3 a^{2} + a = 3 a^{3}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$ D、 $a (a + 1) = a^{2} + 1$

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4. 如图，现将一块三角板含有 $60 °$ 角的顶点放在直尺的一边上，若 $∠ 1 = 85 °$ ，那么 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $25 °$ B、 $35 °$ C、 $45 °$ D、 $55 °$

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5. 已知点 $P (a ， 2 - a)$ 关于原点对称的点在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD ，则∠EDC的度数为（）

A、30° B、20° C、25° D、15°

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7. 一名射箭运动员统计了45次射箭的成绩，并绘制了如图所示的折线统计图则在射箭成绩的这组数据中，众数和中位数分别是（）

A、18，8 B、8，8 C、8，9 D、18，18

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8. 如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且AB：DE＝3：2，则△ABC的面积与△DEF面积之比为（）

A、3：2 B、3：5 C、9：4 D、9：5

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9. 我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了 $\frac{1}{200000}$ 米，用科学记数法表示 $\frac{1}{200000}$ 为（）

A、 $2 \times 10^{- 5}$ B、 $2 \times 10^{- 6}$ C、 $5 \times 10^{- 5}$ D、 $5 \times 10^{- 6}$

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10. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = \frac{4}{x}$ $(x > 0)$ 与 $y = x - 1$ 的图像交于点 $P (a ， b)$ ，则代数式 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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11. 如图，有公共顶点O的两个边长为3的正五边形（不重叠），以O点为圆心，半径为3作圆，构成一个“蘑菇”形图案，则这个“蘑菇”形图案（阴影部分）的面积为（）

A、 $4 π$ B、 $\frac{18}{5} π$ C、 $3 π$ D、 $\frac{5}{2} π$

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12. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）

A、(54 $\sqrt{3}$ +10) cm B、(54 $\sqrt{2}$ +10) cm C、64 cm D、54cm

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13. 已知数据划x₁、x₂、x₃、……、x₁₀₀是福建某企业普通职工的2020年的年收入，设这100个数据的平均数为a，中位数为b，方差为c，如果再加上中国首富马化腾的年收入x₁₀₁ ，则在这101个数据中，a一定增大，那么对b与c的判断正确的是（　　）

A、b一定增大，c可能增大 B、b可能不变，c一定增大 C、b一定不变，c一定增大 D、b可能增大，c可能不变

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14. 如图，点O为等边三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，下列三角形中，外心不是点O的是（）

A、△CBE B、△ACD C、△ABE D、△ACE

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15. 如图，在3×4的正方形网格图中，小正方形的边长为1， $△ A B C$ 的顶点均在格点上，则下列关于 $△ A B C$ 的说法错误的是（）

A、是直角三角形 B、 $\tan B = 1$ C、面积为4 D、 $B C$ 边上的高为 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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16. 如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y，定义（x，y）为这个矩形的坐标.如图2，在平面直角坐标系中，直线x=1，y=3将第一象限划分成4个区域，已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中，则下面叙述中正确的是（）

A、点A的横坐标有可能大于3 B、矩形1是正方形时，点A位于区域② C、当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小 D、当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等

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二、填空题

17. 分解因式： $a^{2} - 2 a$ ＝．

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18. 如图，在长方形 $A B C D$ 中，放入6个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是，若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积是否改变？（填“变”或“不变”）．

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19. 如图， $∠ M O N = 90 °$ ，点P为射线OM上一定点，且 $O P = 2 \sqrt{3}$ ，点Q是射线 $O N$ 上一动点，且点Q以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t．连接 $P Q$ ，以 $P Q$ 为一条边向右侧作等边 $△ P Q H$ ．若 $H Q ⊥ O N$ ，则 $t =$ ；若t的取值范围是 $0 \leq t \leq 3$ ，则点H的运动路径长为．

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三、解答题

20. 如图，数轴上有A、B、C三个点，它们所表示的数分别为a、b、c三个数，其中 $b < 0$ ，且b的倒数是它本身，且a、c满足 ${(c - 4)}^{2} + | a + 3 | = 0$ ．

(1)、计算： $a^{2} - 2 a - \sqrt{c}$ 的值；

(2)、若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数．

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21. 下面是嘉琪同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：如图，直线l和直线l外一点P ．

求作：直线PQ ，使直线PQ $//$ 直线l ．

作法：如图，

①在直线l上取一点A ，连接PA；

②作PA的垂直平分线MN ，分别交直线l ，线段PA于点B ， O；

③以O为圆心，OB长为半径作弧，交直线MN于另一点Q；

④作直线PQ ，所以直线PQ为所求作的直线．

根据上述作图过程，回答问题：

(1)、用直尺和圆规，补全图中的图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明：
证明：∵直线MN是PA的垂直平分线，

∴ ▲ ＝ ▲ ， ∠POQ＝∠AOB＝90°．

∴△POQ≌△AOB ．

∴ ▲ ＝ ▲ ，

∴PQ $//$ l（ ▲ ）（填推理的依据）．

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22. 在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，5，乙口袋中的小球上分别标有数字3，4，5，琪琪先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，乐乐从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为n．

(1)、从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式 $x^{2} - 7 x + 10$ 的值为0的概率；

(2)、若m，n都是方程 $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ 的解时，则琪琪获胜；若m，n都不是方程 $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ 的解时，则乐乐获胜；问他们两人谁获胜的概率大．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y = - \frac{1}{2} {(x - m)}^{2} + 4$ 图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C（1，n）在该函数图象上.

(1)、当m=5时，求n的值.

(2)、当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y $\geq 2$ 时，自变量x的取值范围.

(3)、作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围.

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24. 某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量 $P$ （件）由基础销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价 $x$ （元/件， $x \leq 20$ ）成反比例，销售过程中得到的部分数据如下：

售价 $x$

8

10

销售数量 $P$

70

58

(1)、求 $P$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、当该商品销售数量为50件时，求每件商品的售价；

(3)、设销售总额为 $W$ ，求 $W$ 的最大值．

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25. 如图，在 $Rt △ O A B$ 中， $∠ A O B = 90 ° ， O A = O B = 4$ ，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作 $⊙ O$ 的切线，切点为P ，连接 $O P$ ．将 $O P$ 绕点O按逆时针方向旋转到 $O H$ 时，连接 $A H ， B H$ ．设旋转角为 $α (0 ° < α < 360 °)$ ．

(1)、当 $α = 90 °$ 时，求证： $B H$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、当 $B H$ 与 $⊙ O$ 相切时，求旋转角 $α$ 和点H运动路径的长；

(3)、当 $△ A H B$ 面积最大时，请直接写出此时点H到 $A B$ 的距离．

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26. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E在AB上，AE＝5，P是AD上一点，将矩形沿PE折叠，点A落在点 $A^{'}$ 处．连接AC ，与PE相交于点F ，设AP＝x ．

(1)、AC＝；

(2)、若点 $A^{'}$ 在∠BAC的平分线上，求FC的长；

(3)、求点 $A^{'}$ ，D距离的最小值，并求此时tan∠APE的值；

(4)、若点 $A^{'}$ 在△ABC的内部，直接写出x的取值范围．

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售价 $x$	8	10
销售数量 $P$	70	58