北京市燕山地区2021年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-28 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 大兴国际机场，成为北京建设国际化大都市的重要标志．全球唯一一座“双进双出”的航站楼，世界施工技术难度最高的航站楼，走进航站楼内部，室内色调主要以白色为主，为了让阳光洒满整个机场，航站楼一共使用了12800块玻璃，白天室内几乎不需要照明灯光．将12800用科学记数法表示为（）

A、1.28×10² B、1.28×10³ C、1.28×10⁴ D、1.28×10⁵

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3. 下列运算正确的是（　　）

A、（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b² B、2（2a﹣b）＝4a﹣b C、2a+3b＝5ab D、（a+b）²＝a²+b²

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4. 下列几何体中，是圆柱的为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 四边形的内角和为（　　）

A、180° B、360° C、540° D、720°

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6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，则sinA的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7. 若a＋b－1＝0，则代数式 $(\frac{a^{2}}{b^{2}} - 1) \cdot \frac{3 b^{2}}{a - b}$ 的值为（）

A、3 B、－1 C、1 D、－3

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8. 如图，小聪要在抛物线y ＝x（2-x）上找一点M（a，b），针对b的不同取值，所找点M的个数，三个同学的说法如下，
小明：若b＝-3，则点M的个数为0；

小云：若b ＝ 1，则点M的个数为1；

小朵：若b ＝ 3，则点M的个数为2．

下列判断正确的是（）．

A、小云错，小朵对 B、小明，小云都错 C、小云对，小朵错 D、小明错，小朵对

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二、填空题

9. 如图，该正方体的主视图是形．

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10. 如图所示的正方形网格中有 $∠ α$ ，则 $\tan α$ 的值为．

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11. 请你写出一个函数，使得当自变量 $x > 0$ 时，函数 $y$ 随 $x$ 的增大而增大，这个函数的解析式可以是．

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12. 用四个不等式①a＞b，②a ＋b＞2b，③a＞0，④a²＞ab中的两个不等式作为题设，余下的两个不等式中选择一个作为结论，组成一个真命题：．

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13. 如图所示的网格是正方形网格，线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，则α的值为．

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14. 如图，小亮从一盏9米高的路灯下 $B$ 处向前走了 $8$ 米到达点 $C$ 处时，发现自己在地面上的影子CE是 $2$ 米，则小亮的身高DC为米．

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15. 如图是房山区行政规划图．如果周口店的坐标是（－2，1），阎村的坐标是（0，2），那么燕山的坐标是，窦店坐标是．

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16. 在就地过年倡议下，更多游客缩小出游半径，本地游、近郊游、周边游取代异地长线游，成为牛年出行新趋势．某地区对近郊游的住宿环境、餐饮、服务等方面对所住游客进行了综合满意度调查，在甲，乙两个景点都去过的的游客中随机抽取了100人，每人分别对这两个景点进行了评分，统计如下：

	非常满意	较满意	一般	不太满意	非常不满意	合计
甲	28	40	10	10	12	100
乙	25	20	45	6	4	100

若小聪要在甲，乙两个景点中选择一个景点，根据表格中数据，你建议她去景点（填甲或乙），理由是．

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三、解答题

17. 计算： $2 \sin 60 ° + | - 2 \sqrt{3} | - {(\sqrt{8})}^{0} - {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

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18. 解不等式组： ${\begin{matrix} 2 x + 1 > 3 (x - 1) \\ 4 x < x + 3 \end{matrix}$

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19. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 1 - k = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、请你给出一个 $k$ 的值，并求出此时方程的根．

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20. 下面是小玲同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l和直线l外一点P．

求作：直线PM，使直线PM∥直线l．

图1

作法：如图2，

①在直线l 上任取一点A，作射线AP；

②以P为圆心，PA为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；

③以P为圆心，PB长为半径作弧，交射线AP于点 C；分别以B，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 长为半径作弧，在AC的右侧两弧交于点M；

④作直线PM；

所以直线PM就是所求作的直线．

图2

根据上述作图过程，回答问题：

(1)、用直尺和圆规，补全图2中的图形；

(2)、完成下面的证明：
证明：由作图可知PM平分∠CPB，

∴∠CPM ＝∠   ▲ ＝ $\frac{1}{2}$ ∠CPB．

又∵PA＝PB，

∴∠PAB ＝∠PBA．（　   ▲    ）（填依据）．

∵∠CPB＝∠PAB ＋∠PBA，

∴∠PAB ＝∠PBA ＝ $\frac{1}{2}$ ∠CPB．

∴∠CPM ＝∠PAB．

∴直线PM∥直线l．（　 ▲   ）（填依据）．

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21. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.其中第七卷《盈不足》记载了一道有趣的数学问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器-、小器五容二斛.向大、小器各容几何?”
译文：“今有大容器 $5$ 个，小容器 $1$ 个，总容量为 $3$ 斛；大容器 $1$ 个，小容器 $5$ 个，总容量为 $2$ 斛.向大容器、小容器的容积各是多少斛？”

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22. 某校初三年级有400名学生，为了解学生对代数和几何两部分知识的掌握情况，数学教师对九年级全体学生进行了一次摸底测试，代数和几何满分各50分．现随机抽取20名学生的成绩（成绩均为整数）进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息：

c．代数测试成绩在30≤x≤40这一组的数据是：35， 36， 37， 37， 38， 38， 39， 39， 39，39．

d．几何测试成绩在40≤x≤50的数据是40，42，47，47

e．两次成绩的平均数、中位数、众数如下：

平均数

中位数

众数

代数成绩

35.2

n

39

几何成绩

32.05

35.5

37

请根据以上信息，回答下列问题：

(1)、m ＝， n ＝；

(2)、测试成绩大于或等于30分为及格，测试成绩大于或等于43分为优秀.20名学生的成绩中代数测试及格有人，几何测试优秀有人，估计该校初三年级本次代数测试约有人及格，几何成绩优秀约有人．

(3)、下列推断合理的是．
①代数测试成绩的平均分高于几何的平均分，所以大多数学生代数掌握的比几何好．

②被抽测的学生小莉的几何成绩是29分，她觉得年级里大概有240人的测试成绩比她高，所以她决定迎头赶上．

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23. 如图，在平行四边形ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE $= \frac{1}{2}$ BC，连接DE，CF．

(1)、求证：四边形CEDF是平行四边形；

(2)、若AB=4，AD=6，∠A=120°，求△DCE的底边CE上的高及DE的长．

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24. 如图，A、B两点在函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象上．

(1)、求 $m$ 的值及直线AB的解析式；

(2)、如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象与直线AB围出的封闭图形中（不包括边界）所含格点的坐标．

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25. 如图，AB为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，点D是AC中点．

(1)、求证：DE⊥BC；

(2)、如果DE＝2，tanC＝ $\frac{1}{2}$ ，求⊙O的半径．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a$ （ $a \neq 0$ ）．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　备用图

(1)、求抛物线的对称轴及抛物线与y轴交点坐标．

(2)、已知点B（3，4），将点B向左平移3个单位长度，得到点C．若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．

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27. 在等腰三角形ABC中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = α (0 ° < α < 60 °)$ ．点P是 $△ A B C$ 内一动点，连接AP，BP，将△APB绕点 $A$ 逆时针旋转 $α$ ，使 $A B$ 边与 $A C$ 重合，得到△ADC，射线BP与CD或CD延长线交于点 $M$ （点 $M$ 与点D不重合）．

(1)、依题意补全图1和图2；由作图知，∠BAP与∠CAD的数量关系为；

(2)、探究 $∠ A D M$ 与∠APM的数量关系为；

(3)、如图1，若DP平分∠ADC，用等式表示线段BM，AP，CD之间的数量关系，并证明．

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28. 对于平面内的图形G₁和图形G₂ ，记平面内一点P到图形G₁上各点的最短距离为d₁ ，点P到图形G₂上各点的最短距离为d₂ ，若d₁＝d₂ ，就称点P是图形G₁和图形G₂的一个“等距点”．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（6，0），B（0， $2 \sqrt{3}$ ）．

(1)、在C（4，0），D（2，0），E（1，3）三点中，点A和点B的等距点是；

(2)、已知直线 y=2．
①若点A和直线y=2的等距点在x轴上，则该等距点的坐标为 ▲ ；

②若直线y=b上存在点A和直线y＝2的等距点，求实数b的取值范围；

(3)、记直线AB为直线l₁ ，直线l₂： $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，以原点O为圆心作半径为r的⊙O．若⊙O上有m个直线l₁和直线l₂的等距点，以及n个直线l₁和y轴的等距点（m≠0，n≠0），当 m≠n 时，求r的取值范围．

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	平均数	中位数	众数
代数成绩	35.2	n	39
几何成绩	32.05	35.5	37