初中数学浙教版八年级下学期期末复习专题15 正方形的性质与判定

试卷更新日期：2021-06-27 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 下列不能判断是正方形的有（）

A、对角线互相垂直的矩形 B、对角线相等的矩形 C、对角线互相垂直且相等的平行四边形 D、对角线相等的菱形

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2. 如图，已知四边形ABCD是正方形，E是AB延长线上一点，且BE=BD，则∠BDE的度数是（）

A、22.5° B、30° C、45° D、67.5°

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3. 如图1是边长分别为 $a ， b$ 的两个正方形，经如图2所示的割补可以得到边长为 $c$ 的正方形，且面积等于割补前的两正方形的面积之和．利用这个方法可以推得或验证勾股定理．现请你通过对图2的观察指出下面对割补过程的理解错误的是（）

A、割⑤补⑥ B、割③补① C、割①补④ D、割③补②

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4. 如图，正方形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接BE、BF、DE、DF ，则添加下列条件①∠ABE＝∠CBF；②AE＝CF；③AB＝AF；④BE＝BF ．可以判定四边形BEDF是菱形的条件有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 如图，点 $E$ 、 $F$ 分别是正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 、 $A D$ 上的点，且 $C E = D F$ ， $A E$ 、 $B F$ 相交于点 $O$ ，下列结论：① $A E ⊥ B F$ ；② $A O = O E$ ；③ $S_{Δ A O B} = S_{四边形 D E O F}$ ，其中一定正确的有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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6. 已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形，下列条件：① $A B = B C$ ；② $∠ A B C = 90 °$ ；③ $A C = B D$ ；④ $A C ⊥ B D$ ．选两个作为补充条件，使得四边形 $A B C D$ 是正方形，其中错误的选法是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、③④

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7. 四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O ，能判定它是正方形的是（）

A、AO＝OC ， OB＝OD B、AO＝BO＝CO＝DO ， AC⊥BD C、AO＝OC ， OB＝OD ， AC⊥BD D、AO＝OC＝OB＝OD

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8. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，剪口与折痕所成锐角的大小为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $90^{\circ}$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ， $∠ A B C$ 与 $∠ A C B$ 的平分线交于点 $O$ ，过点 $O$ 作 $O D ⊥ A B$ 于点 $D$ ，若则 $A D$ 的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、4

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，以 $△ A B C$ 的各边为边分别作正方形 $B A H I$ ，正方形 $B C F G$ 与正方形 $C A D E$ .延长 $B G$ ， $F G$ 分别交 $A D$ ， $D E$ 于点K，J，连结 $D H$ ， $I J$ .图中两块阴影部分面积分别记为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，若 $S_{1} ： S_{2} = 1 ： 4$ ，四边形 $S_{B A H E} = 18$ ，则四边形 $M B N J$ 的面积为（）

A、5 B、6 C、8 D、9

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二、填空题

11. 若一个正方形的面积为a²+a+ $\frac{1}{4}$ ，则此正方形的周长为.

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12. 已知正方形ABCD在直角坐标系中，A(2，2)，B(4，2)．那么C点的坐标为．

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13. 如图，正方形ABCD的对角线长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，则EF+EG＝.

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14. 如图，四边形ABCD是矩形，则只须补充条件（用字母表示只添加一个条件）就可以判定四边形ABCD是正方形．

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15. 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则 $\frac{B P}{P D}$ 的值为．

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16. 在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的， $∠ B A C = 90 °$ ，AB=3，AC=4，则D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，那么矩形KLMJ的面积为.

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三、解答题

17. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OG＝OE.

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18. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM^AD，PN^CD，垂足分别为M、N．若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．

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19. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $M$ 是对角线 $B D$ 上的一点，过点 $M$ 作 $M E / / C D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，作 $M F / / B C$ 交 $C D$ 于点 $F$ .求证： $A M = E F$

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20. 某课外活动小组对课本上的一道习题学习后，进行了拓展应用：

(1)、如图1，是在直线l上找一点P，使得PA＋PB最短（画图即可）.

(2)、如图2，应用：已知正方形ABCD中，E为AB的中点，在线段BD上找一点P，使得PA＋PE的值最小，画图即可.

(3)、探索：E为正方形ABCD的AB边的中点，如图3，M为BC上一点，N为CD上一点，连接EM，MN，NA，请你应用（1）的原理，在图2中找出点M，N，使得EM＋MN＋NA的值最小，画图即可.

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21. △ABC中，点O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，若MN交∠BCA的平分线于点E，交∠DCA的平分线于点F，连接AE、AF.

(1)、说明：OE＝OF

(2)、当点O运动到AC中点处时，求证：四边形AECF是矩形；

(3)、在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形，并加以证明.

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22. 下面我们做一次折叠活动：
第一步，在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图（1）的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，折痕为MC；
第二步，如图（2），把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，折痕为FA；
第三步，折出内侧矩形FACB的对角线AB，并将AB折到图（3）中所示的AD处，折痕为AQ．
根据以上的操作过程，完成下列问题：

(1)、求CD的长．

(2)、请判断四边形ABQD的形状，并说明你的理由．

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23.

(1)、如图①，E是正方形ABCD的边BC上任意一点，过点A作FA⊥AE于A，与CD的延长线交于点F，求证：AE＝AF；

(2)、如图②，当点E是正方形ABCD的边BC延长线上的任意一点时，过点A作FA⊥AE于A，交CD的延长线于点F.结论AE＝AF是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

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24. 已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°， AB＝BC，D是AC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交BC于点F.

(1)、求证：AE＝BF；

(2)、连接EF，求∠DEF的度数；

(3)、若AC= $4 \sqrt{2}$ ，直接写出EF的取值范围.

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