人教版2019 必修一 5.7 三角函数的应用同步练习

试卷更新日期：2021-06-27 类型：同步测试

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一、单选题

1. 电流强度 $I$ （安）随时间 $t$ （秒）变化的函数 $I = A \sin (ω t + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图像如图所示，则当 $t = \frac{1}{100}$ 秒时，电流强度是（）

A、10安 B、5安 C、 $5 \sqrt{3}$ 安 D、-5安

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2. 如图，某地一天从 6 ~ 14 时的温度变化曲线近似满足函数： $f (x) = A sin (ω x + φ) + b$ ，则中午 12 点时最接近的温度为（）

A、 $26 ° C$ B、 $27 ° C$ C、 $28 ° C$ D、 $29 ° C$

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3. 在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y（m）关于时间t（h）的函数图象可以近似地看成函数y=Asin（ωt+φ）+k的图象，其中0≤t≤24，且t=3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（）

A、 $y = 3 \sin \frac{π}{6} t + 12$ B、 $y = - 3 \sin \frac{π}{6} t + 12$ C、 $y = 3 \sin \frac{π}{12} t + 12$ D、 $y = 3 \cos \frac{π}{12} t + 12$

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4.
为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P（x，y），若初如位置为 $P_{0} (\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ ，秒针从P₀（注：此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（　　）

A、 $y = \sin (\frac{π}{30} t + \frac{π}{6})$ B、 $y = \sin (- \frac{π}{60} t - \frac{π}{6})$ C、 $y = \sin (- \frac{π}{30} t + \frac{π}{6})$ D、 $y = \sin (- \frac{π}{30} t - \frac{π}{6})$

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5. 某港口的水深（米）是时间t（0≤t≤24）（单位：时）的函数，记作y=f（t）下面是该港口某季节每天水深的数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
10.0
13.0
10.01
7.0
10.0
13.0
10.01
7.0
10.0
经过长期观察，y=f（t）的曲线可近似地看作y=Asinωt+b的图象，一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不小于5m是安全的（船舶停靠岸时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面距离）为6.5m，如果该船想在同一天内安全出港，问它至多能在港内停留的时间是（忽略进出港所用时间）（　　）

A、17 B、16 C、5 D、4

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6.
夏季来临，人们注意避暑．如图是成都市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asin（ωx+φ）+B，则成都市这一天中午12时天气的温度大约是（　　）

A、25℃ B、26℃ C、27℃ D、28℃

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7. 设y=f（x）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y=f（t）的图象可以近似地看成函数y=k+Asin（ωt+φ）的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（t∈[0，24]）（　　）

A、 $y = 12 + 3 \sin \frac{π}{12} t$ B、 $y = 12 + 3 \sin (\frac{π}{6} t + π)$ C、 $y = 12 + 3 \sin \frac{π}{6} t$ D、y=12+3sin $(\frac{π}{12} t + \frac{π}{2})$

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8. 在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其它因素，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数和描述，如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现的状态是（）

A、仍保持平静 B、不断波动 C、周期性保持平静 D、周期性保持波动

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9.
函数 $y = \sin (ω x + φ) (x \in R ， ω > 0 ， 0 \leq φ < 2 π)$ 的部分图象如图，则( )

A、 $ω = \frac{π}{2} ， φ = \frac{π}{4}$ B、 $ω = \frac{π}{3} ， φ = \frac{π}{6}$ C、 $ω = \frac{π}{4} ， φ = \frac{π}{4}$ D、 $ω = \frac{π}{4} ， φ = \frac{5 π}{4}$

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10.
函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （其中A＞0， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）的图象如图所示，为了得到f(x)的图象，则只需将g(x)=sin2x的图象( )

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个长度单位 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个长度单位 C、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个长度单位 D、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个长度单位

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二、填空题

11. 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 $y = A \cos [\frac{π}{6} (x - 6)] + B (x = 1, 2, ..., 12)$ 来表示.已知 $6$ 月份的平均气温最高，为 $28$ ℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为℃.

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12. 某地一天6时至20时的温度变化近似满足函数y=10sin（ $\frac{π}{8} x + \frac{3 π}{4}$ ）+20，（x∈[6，20]），其中x表示时间，y表示温度，设温度不低于20，某人可以进行室外活动，则此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间约为小时．

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13.
国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ $\frac{π}{4}$ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150（天）时达到最低油价，则ω= ．

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14.
某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系，其中0≤t≤24，S的单位是m，t的单位是h，则18点时潮水起落的速度是．

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三、解答题

15. 受日月引力影响，海水会发生涨退潮现象．通常情况下，船在涨潮时驶进港口，退潮时离开港口．某港口在某季节每天港口水位的深度y（米）是时间 $t$ （ $0 \leq t \leq 24$ ，单位：小时， $t = 0$ 表示0：00—零时）的函数，其函数关系式为 $y = f (t) ，$ $f (t) = A \sin (ω t + φ) + K$ $(A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ．已知一天中该港口水位的深度变化有如下规律：出现相邻两次最高水位的深度的时间差为12小时，最高水位的深度为12米，最低水位的深度为6米，每天13：00时港口水位的深度恰为10.5米．

(1)、试求函数 $y = f (t)$ 的表达式；

(2)、某货船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，安全条例规定船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，问该船在当天的什么时间段能够安全进港？若该船欲于当天安全离港，则它最迟应在当天几点以前离开港口？

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16. 如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每 $π$ 分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系为 $d = A \sin (ω t + φ) + K (A > 0 ， ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ .

(1)、求 $A ， ω ， φ ， K$ 的值；

(2)、求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？

(3)、某时刻 $t_{0}$ (单位：分钟)时，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过 $\frac{π}{6}$ 分钟后，盛水筒W是否在水中？

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17. 某企业一天中不同时刻的用电量 $y$ （万千瓦时）关于时间 $t$ （单位：小时，其中 $0 \leq t \leq 24 ， t = 0$ 对应凌晨0点）的函数 $y = f (t)$ 近似满足 $f (t) = A s i n (ω t + φ) + B$ $(A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ ，如图是函数 $f (t)$ 的部分图象．

(1)、求 $f (t)$ 的解析式；

(2)、已知该企业某天前半日能分配到的供电量 $f (t)$ （万千瓦时）与时间 $t$ （小时）的关系可用线性函数模型 $g (t) = - 2 t + 25 (0 \leq t \leq 12)$ 模拟，当供电量 $g (t)$ 小于企业用电量 $f (t)$ 时，企业必须停产．初步预计开始停产的临界时间 $t_{0}$ 在中午11点到12点之间，用二分法估算 $t_{0}$ 所在的一个区间（区间长度精确到15分钟）．

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18. 下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深．
时刻
0：00
3：00
6：00
9：00
12：00
15：00
18：00
21：00
24：00
水深/m
5.0
8.0
5.0
2.0
5.0
8.0
5.0
2.0
5.0
（1）若该港口的水深y（m）和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数y=Asin（ωt）+b（其中A＞0，ω＞0，b∈R）来近似描述，求A，ω，b的值；
（2）若一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有2.5m的安全间隙（船底与海底的距离），试用（1）中的函数关系判断该船何时能进入港口？

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19. 某实验室白天的温度 $f (t)$ （单位： $° C$ ）随时间 $t$ （单位： $h$ ）的变化近似满足函数关系： $f (t) = 10 - 2 sin (\frac{π}{12} t + \frac{π}{3})$ ， $t \in [6 ， 18]$ .

(1)、求实验室白天的最大温差；

(2)、若要求实验室温差不高于 $11 ° C$ ，则在哪段时间实验室需要降温？

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20. 在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12h，低潮时水的深度为8.4m，高潮时为16m，一次高潮发生在10月10日4：00，每天涨潮落潮时，水的深度d（m）与时间（h）近似满足关系式d=Asin（ωt+φ）+h（A>0，ω>0，|φ|< $\frac{π}{2}$ ）

(1)、若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d（m）和时间t（h）之间的函数关系.

(2)、10月10日17：00该港口水深约为多少？（精确到0.1m）

(3)、10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于10.3m？

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时刻	0：00	3：00	6：00	9：00	12：00	15：00	18：00	21：00	24：00
水深/m	5.0	8.0	5.0	2.0	5.0	8.0	5.0	2.0	5.0

t	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y	10.0	13.0	10.01	7.0	10.0	13.0	10.01	7.0	10.0

t	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y	12	15.1	12.1	9.1	11.9	14.9	11.9	8.9	12.1