人教版2019 必修一 5.6 函数y=Asin(wx+φ)同步练习

试卷更新日期：2021-06-27 类型：同步测试

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一、单选题

1. 函数f（x）=sin $\frac{x}{3}$ +cos $\frac{x}{3}$ 的最小正周期和最大值分别是（）

A、3 $π$ 和 $\sqrt{2}$ B、3 $π$ 和2 C、 $6 π$ 和 $\sqrt{2}$ D、 $6 π$ 和2

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2. 把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数y=sin(x- $\frac{π}{4}$ )的图像，则f(x)=（）

A、sin( $\frac{x}{2} - \frac{7 π}{12}$ ) B、sin( $\frac{x}{2} + \frac{π}{12}$ ) C、sin( $2 x - \frac{7 π}{12}$ ) D、sin( $2 x + \frac{π}{12}$ )

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3. 已知函数 $y = f (x)$ 的图像由函数 $g (x) = \cos x$ 的图像经如下变换得到：先将 $g (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数 $y = f (x)$ 的对称轴方程为（）

A、 $x = \frac{k π}{2} + \frac{π}{12}$ ， $k \in Z$ B、 $x = \frac{k π}{2} + \frac{π}{6}$ ，k∈Z C、 $x = k π + \frac{π}{12}$ ， $k \in Z$ D、 $x = k π + \frac{π}{6}$ ， $k \in Z$

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4. 已知函数 $y = \sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 图象的一条对称轴为 $x = \frac{π}{12}$ ，则 $ω$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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5. 已知曲线 $C : y = \cos 2 x$ ，曲线 $E : y = \sin (x + \frac{π}{3})$ ，则下面结论正确的是（）

A、把C上各点横坐标伸长到原来2倍（纵坐标不变）后，再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到曲线E B、把C上各点横坐标伸长到原来2倍（纵坐标不变）后，再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到曲线E C、把C上各点横坐标缩短到原来 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变）后，再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到曲线E D、把C上各点横坐标缩短到原来 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变）后，再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到曲线E

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6. 把函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数 $f (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3}) + 1$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{5 π}{12}]$ 上单调递减

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7. 如图为 $y = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 图象的一段，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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8. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $φ < \frac{π}{2}$ ），若 $f (x)$ 的图象经过点 $(\frac{2 π}{3}, 0)$ ，相邻对称轴的距离为 $\frac{π}{2}$ ，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = - \cos (2 x + \frac{π}{6})$ B、 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = 3 \cos (2 x - \frac{π}{3})$ D、 $f (x) = 4 \cos (x - \frac{π}{6})$

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二、多选题

9. 为了得到函数 $y = 2 \cos (2 x + \frac{π}{5})$ 的图象，只需将函数 $y = 2 \cos 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{5}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{10}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{4 π}{5}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{9 π}{10}$ 个单位长度

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10. 已知函数 $f (x) = a \sin 2 x + b \cos 2 x (a > 0 ， b > 0)$ ，且 $f (\frac{π}{3}) = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (\frac{π}{12}) = 2 a$ C、将 $f (x)$ 图像向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到一个偶函数 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{12} ， \frac{7 π}{12})$ 上单调

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11. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \sin^{2} x$ ，则（）

A、 $π$ 是函数 $f (x)$ 的一个周期 B、 $x = - \frac{π}{6}$ 是函数 $f (x)$ 的一条对称轴 C、函数 $f (x)$ 的一个增区间是 $(- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6})$ D、把函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图像向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，得到函数 $f (x)$ 的图像

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12. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω \in N)$ 在区间 $[- \frac{π}{12} ， \frac{π}{12}]$ 和 $[\frac{7 π}{4} ， \frac{25 π}{12}]$ 上单调递增，下列说法中正确的是（）

A、 $ω$ 的最大值为3 B、方程 $f (x) = \log_{2 π} x$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上至多有5个根 C、存在 $ω$ 和 $φ$ 使 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ 为偶函数 D、存在 $ω$ 和 $φ$ 使 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ 为奇函数

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三、填空题

13. 函数 $y = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为.

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14. 将函数 $f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{6})$ 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 $6$ 倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象．若 $g (x)$ 为奇函数，则 $m$ 的最小值为．

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15. 将函数 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{3} - x)$ 图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则 $φ$ 的最小值为.

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16. 将函数f（x）=2sin2x的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，对任意a∈R，y=g（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值．

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四、解答题

17. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示：

(1)、求图中a，b的值及函数 $f (x)$ 的递增区间；

(2)、若 $α \in [0 ， π]$ ，且 $f (α) = \sqrt{2}$ ，求 $α$ 的值．

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6}) + 1$
（Ⅰ）用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的图象（完成横、纵坐标列表）；

（Ⅱ）写出函数 $y = f (x)$ 图象的对称中心坐标及对称轴的方程.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{1 + \sin 2 x}{\tan (\frac{π}{4} + x)}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、将 $y = f (x)$ 图象上每个点的横坐标变为原来的 $\frac{2}{π}$ 倍，再将所得图象向右平移 $\frac{1}{4}$ 个长度单位得到 $y = g (x)$ 的图象，若 $x \in (0 ， a)$ 时， $g (x)$ 恰有一个零点和两个极值点，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = \sin ω x + \sqrt{3} \cos ω x (ω > 0)$ 的图象相邻两个零点差的绝对值为 $\frac{π}{4}$ ．

(1)、若 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ，分别求 $A ， ω$ ；

(2)、将 $f (x)$ 的图象上的所有点的横坐标变为原来的4倍，再将图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 的单调递增区间．

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21. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (ω x + φ) + 2 \cos^{2} \frac{ω x + φ}{2} - 1 (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 为偶函数，且 $f (x)$ 图象的相邻两个最高点的距离为 $π$ ．

(1)、当 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{5 π}{6}]$ 时，求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象．求函数 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12} ， \frac{π}{6}]$ 上的最大值和最小值．

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22. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 满足条件： $f (x + π) = f (x)$ ，且 $f (\frac{π}{3} + x) = f (\frac{π}{3} - x)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、由函数 $y = \sin x$ 的图象经过适当的变换可以得到 $f (x)$ 的图象．现提供以下两种变换方案：① $y = \sin x$ → $y = \sin (x + φ)$ → $y = f (x)$ ② $y = \sin x$ → $y = \sin ω x$ → $y = f (x)$ 请你选择其中一种方案作答，并将变换过程叙述完整．

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