人教版2019必修一 5.3 诱导公式同步练习

试卷更新日期：2021-06-26 类型：同步测试

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一、单选题

1. $\sin \frac{8 π}{3} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. $\tan 210 ° + \sin 300 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{6}$ D、 $- \frac{5 \sqrt{3}}{6}$

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3. 已知角θ的终边过点 $(1, - 1)$ ， $\cos (\frac{π}{2} - θ) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、-1 D、1

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4. 已知 $\sin (x - \frac{π}{3}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos (x + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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5. 已知 $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (α + \frac{2 π}{3})$ 的值是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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6. 已知 $\sin 200^{\circ} = a$ ，则 $\tan 160^{\circ}$ 等于（）

A、 $- \frac{a}{\sqrt{1 - a^{2}}}$ B、 $\frac{a}{\sqrt{1 - a^{2}}}$ C、 $- \frac{\sqrt{1 - a^{2}}}{a}$ D、 $\frac{\sqrt{1 - a^{2}}}{a}$

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7. 在平面直角坐标系中，角a的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边过点 $P (- \sqrt{3}, 1)$ ，则 $\sin (π - a)$ =（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 已知角 $θ$ 终边经过点 $(3, - 4)$ ，则 $\frac{\sin (\frac{3 π}{2} - θ) \cdot \cos (π + θ)}{\sin (\frac{π}{2} + θ) \cdot \cos (\frac{5 π}{2} + θ)} =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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二、多选题

9. 已知 $4 \cos (- α - \frac{π}{4}) = \sin (2 α + \frac{3 π}{2})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\cos α + \sin α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $α = k π + \frac{π}{4} (k \in Z)$ C、 $\tan 4 α = 0$ D、 $\tan α = 1$

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10. 在 $Δ A B C$ 中,下列关系恒成立的是（）

A、 $\tan (A + B) = \tan C$ B、 $\cos (2 A + 2 B) = \cos 2 C$ C、 $\sin (\frac{A + B}{2}) = \sin \frac{C}{2}$ D、 $\sin (\frac{A + B}{2}) = \cos \frac{C}{2}$

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11. 已知 $x \in R$ ，则下列恒等式成立的是（）

A、 $\sin (- x) = \sin x$ B、 $\sin (\frac{3 π}{2} - x) = \cos x$ C、 $\cos (\frac{π}{2} + x) = - \sin x$ D、 $\cos (x - π) = - \cos x$

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12. 在平面直角坐标系中，若角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $P (\frac{4}{5}, n) (n >0)$ ，将角 $α$ 的终边按逆时针方向旋转 $\frac{π}{2}$ 后得到角 $β$ 的终边，记角 $β$ 的终边与单位圆的交点为 $Q$ ，则下列结论正确的为（）

A、 $\tan α = \frac{3}{4}$ B、 $\sin β = \frac{4}{5}$ C、 $\cos β = \frac{3}{5}$ D、 $Q (- \frac{3}{4} ， \frac{4}{5})$

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三、填空题

13. 若 $\sin (α + \frac{π}{3}) = \frac{12}{13}$ ，则 $\cos (α - \frac{π}{6}) =$ ．

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14. $\sin 95 ° + \cos 185 ° + \tan 240 ° =$ .

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15. 以下四个命题：
①若 $α$ 是第一象限角，则 $\sin α + \cos α > 1$ ；

②存在 $α$ 使 $\sin α = \frac{1}{3}, \cos α = \frac{2}{3}$ 同时成立；

③若 $| \cos 2 α | = - \cos 2 α,$ 则 $α$ 终边在第一、二象限；

④若 $\tan (5 π + α) = - 2$ 且 $\cos α > 0,$ 则 $\sin (α - π) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

其中正确命题的序号是．

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16. 已知 $f (α) = \frac{\sin (α - 5 π) \cos (8 π - α) \tan (- α - π)}{\sin (α - \frac{π}{2}) \cos (\frac{3 π}{2} + α)}$ ，其中 $α$ 是第三象限角，且 $\cos (α - \frac{3 π}{2}) = \frac{1}{5}$ ，则 $f (α) =$ .

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四、解答题

17. 求值 $\sin^{2} 120 ° + \cos 180 ° + \tan 45 ° - \cos^{2} (- 330 °) + \sin (- 210 °)$

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18. 已知 $\sin α = - \frac{4}{5}$ ，且 $\cos α > 0$ ．

(1)、确定角 $α$ 的象限并求 $\cos α$ ， $\tan α$ ， $\frac{\sqrt{1 + \sin α}}{\sqrt{1 - \sin α}} - \frac{\sqrt{1 - \sin α}}{\sqrt{1 + \sin α}}$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin (\frac{π}{2} - α) + 3 \cos (π + α)}{\sin (π - α) + \cos (\frac{7 π}{2} + α)}$ 的值．

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19. 已知f（α）= $\frac{\sin (π - α) \cos (2 π - α) \cos (1 α + \frac{3}{2} π)}{\cos (\frac{π}{2} - α) \sin (- π - α)}$
（1）化简f（α）；
（2）若α为第三象限角，且cos（α﹣ $\frac{3}{2}$ π）= $\frac{1}{5}$ ，求f（α）的值；
（3）若α=﹣ $\frac{31}{3}$ π，求f（α）的值．

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20. 在平面直角坐标系中，以 $x$ 轴的非负半轴为角的始边，如果角 $α$ 终边与单位圆交于点 $A (- \frac{3}{5,} \frac{4}{5})$ ，角 $β$ 的终边落在射线 $y = x (x > 0)$ 上.

(1)、求 $\sin α \cdot \tan β$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin (\frac{π}{2} - α)}{\sin (3 π + α)} + \frac{\sin^{2} (\frac{3 π}{2} - β)}{{sin}^{2} β + 3 \sin β \cos β}$ 的值．

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21.

(1)、设 $α \neq k π + \frac{π}{2} (k \in Z)$ ，直接用任意角的三角函数的定义证明： $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

(2)、给出两个公式：① $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$ ；② $\cos (\frac{π}{2} - α) = \sin α$ .请仅以上述两个公式为已知条件证明 $\tan (\frac{π}{2} - α) = \frac{1}{\tan α}$ .

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22. ①点 $P (1, 3)$ 在角 $α$ 的终边上，② $\sin α = 3 \cos α$ ，③ $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α} = 2$ ，在这三个条件下任选一个，完成下列问题.
问题：已知在条件___________下，

(1)、计算 $\frac{2 \cos (π - α) - 3 \sin (π + α)}{4 \cos (- α) + \sin (2 π - α)}$ 的值；

(2)、计算 $2 \sin 2 α + \cos 2 α + 1$ 的值.

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