浙江省衢州市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-25 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 21的相反数是（）

A、 21 B、-21 C、- $\frac{1}{21}$ D、 $\frac{1}{21}$

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2. 如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2021年5月国家统计局公布了第七次人口普查结果，我国人口数约为1412000000，其中数据1412000000用科学记数法表示为（）

A、 $14 .12 \times 10^{8}$ B、 $0.1412 \times 10^{10}$ C、 $1.412 \times 10^{9}$ D、 $1.412 \times 10^{8}$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 ${(x^{2})}^{3} = x^{5}$ B、 $x^{2} + x^{2} = x^{4}$ C、 $x^{2} \cdot x^{3} = x^{5}$ D、 $x^{6} \div x^{3} = x^{2}$

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5. 一个布袋里放有3个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同.从布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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6. 已知扇形的半径为6，圆心角为 $150 °$ .则它的面积是（）

A、 $\frac{3}{2} π$ B、 $3 π$ C、 $5 π$ D、 $15 π$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 5$ ， $B C = 6$ ，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（）

A、6 B、9 C、12 D、15

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8. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤.问：燕雀一枚，各重几何？”译文：”五只雀、六只燕，共重1斤（占时1斤＝16两）.雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x两，燕重y两，可列出方程组（）

A、 ${\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 16 \\ 4 x + y = 5 y + x \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 10 \\ 4 x + y = 5 y + x \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 10 \\ 5 x + y = 6 y + x \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 16 \\ 5 x + y = 6 y + x \end{array}$

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9. 如图.将菱形ABCD绕点A逆时针旋转 $∠ α$ 得到菱形 $A B^{'} C^{'} D^{'}$ ， $∠ B = ∠ β$ .当AC平分 $∠ B^{'} A C^{'}$ 时， $∠ α$ 与 $∠ β$ 满足的数量关系是（）

A、 $∠ α = 2 ∠ β$ B、 $2 ∠ α = 3 ∠ β$ C、 $4 ∠ α + ∠ β = 180 °$ D、 $3 ∠ α + 2 ∠ β = 180 °$

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10. 已知A，B两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达，乙骑摩托车.比甲迟1h出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶.他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示.当乙再次追上甲时距离B地（）

A、15km B、16km C、44km D、45km

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二、填空题

11. 若 $\sqrt{x - 1}$ 有意义，则x的值可以是.（写出一个即可）

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12. 不等式 $2 (y + 1) < y + 3$ 的解为.

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13. 为庆祝建党100周年，某校举行“庆百年红歌大赛”.七年级5个班得分分别为85，90，88，95，92，则5个班得分的中位数为分.

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14. 如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，BD交于点F，则 $∠ A F B$ 的度数为.

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15. 将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A与原点O重合，AB在x轴正半轴上，且 $A B = 4 \sqrt{3}$ ，点E在AD上， $D E = \frac{1}{4} A D$ ，将这副三角板整体向右平移个单位，C，E两点同时落在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上.

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16. 图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且 $O A = O B$ ，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得 $F A = 54 cm$ ， $E B = 45 cm$ ， $A B = 48 cm$ .

(1)、椅面CE的长度为cm.

(2)、如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角 $∠ C H D$ 的度数达到最小值 $30 °$ 时，A，B两点间的距离为cm（结果精确到0.1cm）.（参考数据： $\sin 15 ° \approx 0.26$ ， $\cos 15 ° \approx 0.97$ ， $\tan 15 ° \approx 0.27$ ）

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三、解答题

17. 计算： $\sqrt{9} + {(\frac{1}{2})}^{0} - | - 3 | + 2 \cos 60 °$ .

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18. 先化简，再求值： $\frac{x^{2}}{x - 3} + \frac{9}{3 - x}$ ，其中 $x = 1$ .

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19. 如图，在 $6 \times 6$ 的网格中， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上.

(1)、在图1中画出 $△ A C D$ ，使 $△ A C D$ 与 $△ A C B$ 全等，顶点D在格点上.

(2)、在图2中过点B画出平分 $△ A B C$ 面积的直线l.

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20. 为进一步做好“光盘行动”，某校食堂推出“半份菜”服务，在试行阶段，食堂对师生满意度进行抽样调查.并将结果绘制成如下统计图（不完整）.

(1)、求被调查的师生人数，并补全条形统计图，

(2)、求扇形统计图中表示“满意”的扇形圆心角度数.

(3)、若该校共有师生1800名，根据抽样结果，试估计该校对食堂“半份菜”服务“很满意”或“满意”的师生总人数.

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C A = C B$ ，BC与 $⊙ A$ 相切于点D，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交 $⊙ A$ 于点F，连结BF.

(1)、求证：BF是 $⊙ A$ 的切线.

(2)、若 $B E = 5$ ， $A C = 20$ ，求EF的长.

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22. 如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图.水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系.

(1)、求桥拱项部O离水面的距离.

(2)、如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m.
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式.

②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值.

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23. 如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），

A B = 6 cm

，过点C作

C D ⊥ A B

交半圆于点D，连结AD，过点C作

C E / / A D

交半圆于点E，连结EB.牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系.他根据学习函数的经验，记

A C = x cm

，

E C = y_{1} cm

，

E B = y_{2} cm

.请你一起参与探究函数

y_{1}

、

y_{2}

随自变量x变化的规律.

通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象.

x	…	0.30	0.80	1.60	2.40	3.20	4.00	4.80	5.60	…
$y_{1}$	…	2.01	2.98	3.46	3.33	2.83	2.11	1.27	0.38	…
$y_{2}$	…	5.60	4.95	3.95	2.96	2.06	1.24	0.57	0.10	…

(1)、当

x = 3

时，

y_{1}

＝.

(2)、在图2中画出函数

y_{2}

的图象，并结合图象判断函数值

y_{1}

与

y_{2}

的大小关系.

(3)、由（2）知“AC取某值时，有

E C = E B

”.如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程.

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24. 如图，

(1)、【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G.
求证： $△ B C E ≌ △ C D G$ .

(2)、【运用】
如图2，在（推理）条件下，延长BF交AD于点H.若 $\frac{H D}{H F} = \frac{4}{5}$ ， $C E = 9$ ，求线段DE的长.

(3)、【拓展】
将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若 $\frac{A B}{B C} = k$ ， $\frac{H D}{H F} = \frac{4}{5}$ ，求 $\frac{D E}{E C}$ 的值（用含k的代数式表示）.

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