四川省达州市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-25 类型：中考真卷

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一、单选题

1. ﹣ $\frac{2}{3}$ 的相反数是（）

A、﹣ $\frac{3}{2}$ B、﹣ $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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2. 如图，几何体是由圆柱和长方体组成的，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 实数 $\sqrt{2} + 1$ 在数轴上的对应点可能是（）

A、 $A$ 点 B、 $B$ 点 C、 $C$ 点 D、 $D$ 点

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = \pm 3$ C、 $a \cdot a^{- 1} = 1 (a \neq 0)$ D、 ${(- 3 a^{2} b^{2})}^{2} = - 6 a^{4} b^{4}$

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5. 如图，一束光线 $A B$ 先后经平面镜 $O M$ ， $O N$ 反射后，反射光线 $C D$ 与 $A B$ 平行，当 $∠ A B M = 40 °$ 时， $∠ D C N$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $60 °$ D、 $80 °$

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6. 在反比例函数 $y = \frac{k^{2} + 1}{x}$ （ $k$ 为常数）上有三点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ， $C (x_{3} ， y_{3})$ ，若 $x_{1} < 0 < x_{2} < x_{3}$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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7. 以下命题是假命题的是（）

A、 $\sqrt{4}$ 的算术平方根是2 B、有两边相等的三角形是等腰三角形 C、一组数据：3， $- 1$ ，1，1，2，4的中位数是1.5 D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

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8. 生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：

12 = 1 \times 10 + 2

，

212 = 2 \times 10 \times 10 + 1 \times 10 + 2

；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~

F

来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如下表：

十进制	0	1	2	…	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	…
十六进制	0	1	2	…	8	9	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$F$	10	11	…

例：十六进制 $2 B$ 对应十进制的数为 $2 \times 16 + 11 = 43$ ， $10 C$ 对应十进制的数为 $1 \times 16 \times 16 + 0 \times 16 + 12 = 268$ ，那么十六进制中 $14 E$ 对应十进制的数为（）

A、28 B、62 C、238 D、334

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9. 在平面直角坐标系中，等边 $Δ A O B$ 如图放置，点 $A$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ，每一次将 $Δ A O B$ 绕着点 $О$ 逆时针方向旋转 $60 °$ ，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到 $Δ A_{1} O B_{1}$ ，第二次旋转后得到 $Δ A_{2} O B_{2}$ ，…，依次类推，则点 $A_{2021}$ 的坐标为（）

A、 $(- 2^{2020} ， - \sqrt{3} \times 2^{2020})$ B、 $(2^{2021} ， - \sqrt{3} \times 2^{2021})$ C、 $(2^{2020} ， - \sqrt{3} \times 2^{2020})$ D、 $(- 2^{2011} ， - \sqrt{3} \times 2^{2021})$

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10. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 为常数， $a \neq 0$ ）经过点 $(2 ， 0)$ ，且对称轴为直线 $x = \frac{1}{2}$ ，有下列结论：① $a b c > 0$ ；② $a + b > 0$ ；③ $4 a + 2 b + 3 c < 0$ ；④无论 $a$ ， $b$ ， $c$ 取何值，抛物线一定经过 $(\frac{c}{2 a} ， 0)$ ；⑤ $4 a m^{2} + 4 b m - b \geq 0$ .其中正确结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 截至2020年末，达州市金融精准扶贫共计392.5亿元，居全省第2，惠及建档立卡贫困户8.96万人.将392.5亿元用科学记数法表示应为元.

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12. 如图是一个运算程序示意图，若开始输入 $x$ 的值为3，则输出 $y$ 值为.

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13. 已知 $a$ ， $b$ 满足等式 $a^{2} + 6 a + 9 + \sqrt{b - \frac{1}{3}} = 0$ ，则 $a^{2021} b^{2020} =$ .

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14. 若分式方程 $\frac{2 x - a}{x - 1} - 4 = \frac{- 2 x + a}{x + 1}$ 的解为整数，则整数 $a =$ .

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15. 如图，在边长为6的等边 $Δ A B C$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是边 $A C$ ， $B C$ 上的动点，且 $A E = C F$ ，连接 $B E$ ， $A F$ 交于点 $P$ ，连接 $C P$ ，则 $C P$ 的最小值为.

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三、解答题

16. 如图，将一把矩形直尺 $A B C D$ 和一块等腰直角三角板 $E F G$ 摆放在平面直角坐标系中， $A B$ 在 $x$ 轴上，点 $G$ 与点 $A$ 重合，点 $F$ 在 $A D$ 上， $E F$ 交 $B C$ 于点 $M$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象恰好经过点 $F$ ， $M$ ，若直尺的宽 $C D = 1$ ，三角板的斜边 $F G = 4$ ，则 $k =$ .

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17. 计算： $- 1^{2} + {(π - 2021)}^{0} + 2 \sin 60 ° - | 1 - \sqrt{3} |$ .

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18. 化简求值： $(1 - \frac{3 a - 10}{a - 2}) \div (\frac{a - 4}{a^{2} - 4 a + 4})$ ，其中 $a$ 与2，3构成三角形的三边，且 $a$ 为整数.

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19. 为庆祝中国共产党成立100周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我市开展“童心向党”教育实践活动，某校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，国学诵读活动.为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种）的问卷调查.根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：

(1)、这次抽样调查的总人数为人，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为；

(2)、若该校有1400名学生，估计选择参加书法的有多少人？

(3)、学校准备从推荐的4位同学（两男两女）中选取2人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男一女的概率.

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20. 如图，在平面直角坐标中， $Δ A B C$ 的顶点坐标分别是 $A (0 ， 4)$ ， $B (0 ， 2)$ ， $C (3 ， 2)$ .

(1)、将 $Δ A B C$ 以 $О$ 为旋转中心旋转 $180 °$ ，画出旋转后对应的 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、将 $Δ A B C$ 平移后得到 $Δ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，若点 $A$ 的对应点 $A_{2}$ 的坐标为 $(2 ， 2)$ ，求 $Δ A_{1} C_{1} C_{2}$ 的面积

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21. 2021年，州河边新建成了一座美丽的大桥.某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为 $30 °$ 的河床斜坡边，斜坡 $B C$ 长为48米，在点 $D$ 处测得桥墩最高点 $A$ 的仰角为 $35 °$ ， $C D$ 平行于水平线 $B M$ ， $C D$ 长为 $16 \sqrt{3}$ 米，求桥墩 $A B$ 的高（结果保留1位小数）.（ $\sin 35 ° \approx 0.57$ ， $\cos 35 ° \approx 0.82$ ， $\tan 35 ° \approx 0.70$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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22. 渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克.为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施.批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克.

(1)、写出工厂每天的利润 $W$ 元与降价 $x$ 元之间的函数关系.当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？

(2)、当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？

(3)、若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？

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23. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点（ $C$ 不与点 $A$ ， $B$ 重合）连接 $A C$ ， $B C$ ，过点 $C$ 作 $C D ⊥ A B$ ，垂足为点 $D$ .将 $Δ A C D$ 沿 $A C$ 翻折，点 $D$ 落在点 $E$ 处得 $Δ A C E$ ， $A E$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ .

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ B A C = 15 °$ ， $O A = 2$ ，求阴影部分面积.

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24. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两要互相垂直的线段做了如下探究：
（观察与猜想）

(1)、如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $A D$ 上的两点，连接 $D E$ ， $C F$ ， $D E ⊥ C F$ ，则 $\frac{D E}{C F}$ 的值为；

(2)、如图2，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 7$ ， $C D = 4$ ，点 $E$ 是 $A D$ 上的一点，连接 $C E$ ， $B D$ ，且 $C E ⊥ B D$ ，则 $\frac{C E}{B D}$ 的值为；

(3)、如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = 90 °$ ，点 $E$ 为 $A B$ 上一点，连接 $D E$ ，过点 $C$ 作 $D E$ 的垂线交 $E D$ 的延长线于点 $G$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $F$ ，求证： $D E \cdot A B = C F \cdot A D$ ；

(4)、如图4，在 $R t Δ A B D$ 中， $∠ B A D = 90 °$ ， $A D = 9$ ， $\tan ∠ A D B = \frac{1}{3}$ ，将 $Δ A B D$ 沿 $B D$ 翻折，点 $A$ 落在点 $C$ 处得 $Δ C B D$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A B$ ， $A D$ 上，连接 $D E$ ， $C F$ ，且 $D E ⊥ C F$ .

①求 $\frac{D E}{C F}$ 的值；

②连接 $B F$ ，若 $A E = 1$ ，直接写出 $B F$ 的长度.

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25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 交 $x$ 轴于点 $A$ 和 $C (1 ， 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $B (0 ， 3)$ ，抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $E$ ，交抛物线于点 $F$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、将线段 $O E$ 绕着点 $О$ 沿顺时针方向旋转得到线段 $O E'$ ，旋转角为 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，连接 $A E'$ ， $B E'$ ，求 $B E' + \frac{1}{3} A E'$ 的最小值.

(3)、 $M$ 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点 $N$ ，使得以 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点 $N$ 的横坐标；若不存在，请说明理由；

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