江苏省南京市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-25 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 截至2021年6月8日，31个省（自治区，直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过800000000次，用科学记数法表示800000000是（）

A、 $8 \times 10^{8}$ B、 $0.8 \times 10^{9}$ C、 $8 \times 10^{9}$ D、 $0.8 \times 10^{10}$

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2. 计算 ${(a^{2})}^{3} \cdot a^{- 3}$ 的结果是（）

A、 $a^{2}$ B、 $a^{3}$ C、 $a^{5}$ D、 $a^{9}$

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3. 下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）

A、1，1，1 B、1，1，8 C、1，2，2 D、2，2，2

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4. 北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间13：00，同一时刻的莫斯科时间是8：00，小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间9：00~17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（）

A、10：00 B、12：00 C、15：00 D、18：00

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5. 一般地，如果 $x^{n} = a$ （n为正整数，且 $n > 1$ ），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（）

A、16的4次方根是2 B、32的5次方根是 $\pm 2$ C、当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D、当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大

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6. 如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

7. $- (- 2) =$ ； $- | - 2 | =$ .

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8. 若式子 $\sqrt{5 x}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

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9. 计算 $\sqrt{8} - \sqrt{\frac{9}{2}}$ 的结果是.

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10. 设 $x_{1} ， x_{2}$ 是关于x的方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 的两个根，且 $x_{1} = 2 x_{2}$ ，则 $k =$ .

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11. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A O B$ 的边 $A O ， A B$ 的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是.

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12. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，C是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点， $O C$ 交 $A B$ 于点D.若 $A B = 8 cm ， C D = 2 cm$ ，则 $⊙ O$ 的半径为 $cm$ .

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13. 如图，正比例函数 $y = k x$ 与函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象交于A，B两点， $B C / / x$ 轴， $A C / / y$ 轴，则 $S_{△ A B C} =$ .

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14. 如图， $F A ， G B ， H C ， I D ， J E$ 是五边形 $A B C D E$ 的外接圆的切线，则 $∠ B A F + ∠ C B G + ∠ D C H + ∠ E D I + ∠ A E J =$ $°$ .

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15. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = B D$ .设 $∠ A B C = α$ ，则 $∠ A D C =$ （用含 $α$ 的代数式表示）.

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16. 如图，将 $▱ A B C D$ 绕点A逆时针旋转到 $▱ A B^{'} C^{'} D^{'}$ 的位置，使点 $B^{'}$ 落在 $B C$ 上， $B^{'} C^{'}$ 与 $C D$ 交于点E，若 $A B = 3 ， B C = 4 ， B B^{'} = 1$ ，则 $C E$ 的长为.

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三、解答题

17. 解不等式 $1 + 2 (x - 1) \leq 3$ ，并在数轴上表示解集.

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18. 解方程 $\frac{2}{x + 1} + 1 = \frac{x}{x - 1}$ .

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19. 计算 $(\frac{a}{b^{2} + a b} - \frac{2}{a + b} + \frac{b}{a^{2} + a b}) \div \frac{a - b}{a b}$ .

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20. 如图， $A C$ 与 $B D$ 交于点O， $O A = O D ， ∠ A B O = ∠ D C O$ ，E为 $B C$ 延长线上一点，过点E作 $E F / / C D$ ，交 $B D$ 的延长线于点F.

(1)、求证 $△ A O B ≌ △ D O C$ ；

(2)、若 $A B = 2 ， B C = 3 ， C E = 1$ ，求 $E F$ 的长.

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21. 某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查，通过简单随机抽样，获得了100个家庭去年的月均用水量数据，将这组数据按从小到大的顺序排列，其中部分数据如下表：

序号	1	2	…	25	26	…	50	51	…	75	76	…	99	100
月均用水量/t	1.3	1.3	…	4.5	4.5	…	6.4	6.8	…	11	13	…	25.6	28

(1)、求这组数据的中位数.已知这组数据的平均数为

9 .2t

，你对它与中位数的差异有什么看法？

(2)、为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使75%的家庭水费支出不受影响，你觉得这个标准应该定为多少？

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22. 不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别.

(1)、从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球.求两次摸出的球都是红球的概率.

(2)、从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机换出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球.两次摸出的球都是白球的概率是.

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23. 如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D.测得 $C D = 80 m$ ， $∠ A C D = 90 °$ ， $∠ B C D = 45 °$ ， $∠ A D C = 19 ° 1 7^{'}$ ， $∠ B D C = 56 ° 1 9^{'}$ ，设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离.（参考数据： $\tan 19 ° 1 7^{'} \approx 0.35 ， \tan 56 ° 1 9^{'} \approx 1.50$ .）

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24. 甲、乙两人沿同一直道从A地去B地，甲比乙早 $1 \min$ 出发，乙的速度是甲的2倍.在整个行程中，甲离A地的距离 $y_{1}$ （单位：m）与时间x（单位： $\min$ ）之间的函数关系如图所示.

(1)、在图中画出乙离A地的距离 $y_{2}$ （单位：m）与时间x之间的函数图；

(2)、若甲比乙晚 $5 \min$ 到达B地，求甲整个行程所用的时间.

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25. 如图，已知P是 $⊙ O$ 外一点.用两种不同的方法过点P作 $⊙ O$ 的一条切线.要求：

(1)、用直尺和圆规作图；

(2)、保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.

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26. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过 $(- 2 ， 1) ， (2 ， - 3)$ 两点.

(1)、求b的值.

(2)、当 $c > - 1$ 时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是.

(3)、设 $(m ， 0)$ 是该函数的图象与x轴的一个公共点，当 $- 1 < m < 3$ 时，结合函数的图象，直接写出a的取值范围.

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27. 在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？

(1)、如图①，圆锥的母线长为 $12cm$ ，B为母线 $O C$ 的中点，点A在底面圆周上， $\overset{⌢}{A C}$ 的长为 $4 π cm$ .在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）.

(2)、图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成.O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上.设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h.
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为 ▲ （用含l，h的代数式表示）.

②设 $\overset{⌢}{A D}$ 的长为a，点B在母线 $O C$ 上， $O B = b$ .圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路.

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