湖南省怀化市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-25 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 数轴上表示数5的点和原点的距离是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、5 C、-5 D、 $- \frac{1}{5}$

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2. 到2020年底，我国完成了“脱贫攻坚”任务，有约9980万的贫困人口实现了脱贫.将数据9980万用科学记数法表示是（）

A、 $9.98 \times 10^{3}$ B、 $9.98 \times 10^{5}$ C、 $9.98 \times 10^{6}$ D、 $9.98 \times 10^{7}$

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3. 以下说法错误的是（）

A、多边形的内角大于任何一个外角 B、任意多边形的外角和是 $360 °$ C、正六边形是中心对称图形 D、圆内接四边形的对角互补

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4. 对于一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$ ，则它根的情况为（）

A、没有实数根 B、两根之和是3 C、两根之积是-2 D、有两个不相等的实数根

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5. 下列图形中，可能是圆锥侧面展开图的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 定义 $a \otimes b = 2 a + \frac{1}{b}$ ，则方程 $3 \otimes x = 4 \otimes 2$ 的解为（）

A、 $x = \frac{1}{5}$ B、 $x = \frac{2}{5}$ C、 $x = \frac{3}{5}$ D、 $x = \frac{4}{5}$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D.则下列说法正确的是（）

A、 $A D + B D < A B$ B、AD一定经过 $△ A B C$ 的重心 C、 $∠ B A D = ∠ C A D$ D、AD一定经过 $△ A B C$ 的外心

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8. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + 1 ⩾ x - 1 \\ - \frac{1}{2} x > - 1 \end{array}$ 的解集表示在数轴上正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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9. “成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观.下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（）

A、① B、② C、③ D、④

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10. 如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O， $A E ⊥ B C$ 于E点，交BD于M点，反比例函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{3 x} (x > 0)$ 的图象经过线段DC的中点N，若 $B D = 4$ ，则ME的长为（）

A、 $M E = \frac{5}{3}$ B、 $M E = \frac{4}{3}$ C、 $M E = 1$ D、 $M E = \frac{2}{3}$

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二、填空题

11. 比较大小： $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ （填写“＞”或“＜”或“＝”）.

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12. 在函数 $y = \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 3}$ 中，自变量x的取值范围是.

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13. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (- 2 ， 1)$ ， $B (- 1 ， 4)$ ， $C (- 1 ， 1)$ ，将 $△ A B C$ 先向右平移3个单位长度得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，再绕 $C_{1}$ 顺时针方向旋转 $90 °$ 得到 $△ A_{2} B_{2} C_{1}$ ，则 $A_{2}$ 的坐标是.

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14. 为庆祝中国共产党建党一百周年，某单位党支部开展“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”读书活动，学习小组抽取了七名党员5天的学史的时间（单位：h）分别为：4，3，3，5，6，3，5，这组数据的中位数是，众数是.

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15. 如图，在 $⊙ O$ 中， $O A = 3$ ， $∠ C = 45 °$ ，则图中阴影部分的面积是.（结果保留 $π$ ）

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16. 观察等式： $2 + 2^{2} = 2^{3} - 2$ ， $2 + 2^{2} + 2^{3} = 2^{4} - 2$ ， $2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} = 2^{5} - 2$ ，……，已知按一定规律排列的一组数： $2^{100}$ ， $2^{101}$ ， $2^{102}$ ，……， $2^{199}$ ，若 $2^{100} = m$ ，用含 $m$ 的代数式表示这组数的和是.

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三、解答题

17. 计算： ${(3 - π)}^{0} - \sqrt{12} + {(\frac{1}{3})}^{- 2} + 4 \sin 60 ° - (- 1)$

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18. 先化简，再求值： $\frac{1}{x} + \frac{2 x + 6}{x^{2} - 4 x + 4} \cdot \frac{x - 2}{x^{2} + 3 x}$ ，其中 $x = \sqrt{2} + 2$ .

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19. 政府将要在某学校大楼前修一座大桥.如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角 $∠ E A B$ ， $∠ E A C$ 分别为 $67 °$ 和 $22 °$ ，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了.同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到0.1米）.其中 $\sin 67 ° \approx \frac{12}{13}$ ， $\cos 67 ° \approx \frac{5}{13}$ ， $\tan 67 ° \approx \frac{12}{5}$ ， $\sin 22 ° \approx \frac{3}{8}$ ， $\cos 22 ° = \frac{15}{16}$ ， $\tan 22 ° \approx \frac{2}{5}$

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20. 已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上， $A E = C F$ .求证：

(1)、 $△ A D E ≌ △ C B F$

(2)、 $E D / / B F$

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21. 某校开展了“禁毒”知识的宣传教育活动.为了解这次活动的效果，现随机抽取部分学生进行知识测试，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图表：

等级	频数（人数）	频率
优秀	60	0.6
良好	a	0.25
合格	10	b
基本合格	5	0.05
合计	c	1

根据统计图表提供的信息，解答下列问题：

(1)、a＝， b＝， c＝；

(2)、补全条形统计图；

(3)、该学校共有1600名学生，估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有多少人？

(4)、在这次测试中，九年级（3）班的甲，乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀”，现班主任准备从这四名同学中随机选取两名同学出一期“禁毒”知识的黑板报，请用列表法成画树状图法求甲、乙两名同学同时被选中的概率.

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22. 如图，在半径为5cm的 $⊙ O$ 中，AB是 $⊙ O$ 的直径，CD是过 $⊙ O$ 上点C的直线，且 $A D ⊥ D C$ 于点D，AC平分 $∠ B A D$ ，E是BC的中点， $O E = 3 cm$ .

(1)、求证：CD是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求AD的长，

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23. 某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：

进货批次	A型水杯（个）	B型水杯（个）	总费用（元）
一	100	200	8000
二	200	300	13000

(1)、求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？

(2)、在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢.为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？

(3)、第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资.若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？

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24. 如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且 $O A = 2$ ， $O B = 4$ ， $O C = 8$ ，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与 $△ M N B$ 相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

(3)、D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C.要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程.

(4)、点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰 $R t △ C Q R$ ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

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