湖北省随州市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-25 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 2021的相反数是（）

A、 -2021 B、2021 C、 $- \frac{1}{2021}$ D、 $\frac{1}{2021}$

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2. 从今年公布的全国第七次人口普查数据可知，湖北省人口约为5700万，其中5700万用科学记数法可表示为（）

A、 $5.7 \times 10^{6}$ B、 $57 \times 10^{6}$ C、 $5.7 \times 10^{7}$ D、 $0.57 \times 10^{8}$

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3. 如图，将一块含有 $60 °$ 角的直角三角板放置在两条平行线上，若 $∠ 1 = 45 °$ ，则 $∠ 2$ 为（）

A、 $15 °$ B、 $25 °$ C、 $35 °$ D、 $45 °$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{- 2} = - a^{2}$ B、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ D、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$

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5. 如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（）

A、测得的最高体温为37.1℃ B、前3次测得的体温在下降 C、这组数据的众数是36.8 D、这组数据的中位数是36.6

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6. 如图是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中完全相同的是（）

A、主视图和左视图 B、主视图和俯视图 C、左视图和俯视图 D、三个视图均相同

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7. 如图，从一个大正方形中截去面积为 $3 {cm}^{2}$ 和 $12 {cm}^{2}$ 的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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8. 如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 $α$ 时，梯子顶端靠在墙面上的点 $A$ 处，底端落在水平地面的点 $B$ 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 $β$ ，已知 $\sin α = \cos β = \frac{3}{5}$ ，则梯子顶端上升了（）

A、1米 B、1.5米 C、2米 D、2.5米

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9. 根据图中数字的规律，若第 $n$ 个图中的 $q = 143$ ，则 $p$ 的值为（）

A、100 B、121 C、144 D、169

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10. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴在 $y$ 轴右侧，抛物线与 $x$ 轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴的负半轴交于点 $C$ ，且 $O B = 2 O C$ ，则下列结论：① $\frac{a - b}{c} > 0$ ；② $2 b - 4 a c = 1$ ；③ $a = \frac{1}{4}$ ；④当 $- 1 < b < 0$ 时，在 $x$ 轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点 $M$ ， $N$ （点 $M$ 在点 $N$ 左边），使得 $A N ⊥ B M$ .其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 计算： $| \sqrt{3} - 1 | + {(π - 2021)}^{0} =$ .

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12. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，连接 $A O$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，若 $∠ C = 50 °$ ，则 $∠ B A D$ 的度数为.

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13. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (k + 4) x + 4 k = 0$ （ $k \neq 0$ ）的两实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $\frac{2}{x_{1}} + \frac{2}{x_{2}} = 3$ ，则 $k =$ .

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转角 $α$ （ $0 ° < α < 180 °$ ）得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，并使点 $C^{'}$ 落在 $A B$ 边上，则点 $B$ 所经过的路径长为.（结果保留 $π$ ）

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15. 2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果.祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率 $π$ 精确到小数点后第七位的人，他给出 $π$ 的两个分数形式： $\frac{22}{7}$ （约率）和 $\frac{355}{113}$ （密率）.同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数 $x$ 的不足近似值和过剩近似值分别为 $\frac{b}{a}$ 和 $\frac{d}{c}$ （即有 $\frac{b}{a} < x < \frac{d}{c}$ ，其中 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 为正整数），则 $\frac{b + d}{a + c}$ 是 $x$ 的更为精确的近似值.例如：已知 $\frac{157}{50} < π < \frac{22}{7}$ ，则利用一次“调日法”后可得到 $π$ 的一个更为精确的近似分数为： $\frac{157 + 22}{50 + 7} = \frac{179}{57}$ ；由于 $\frac{179}{57} \approx 3.1404 < π$ ，再由 $\frac{179}{57} < π < \frac{22}{7}$ ，可以再次使用“调日法”得到 $π$ 的更为精确的近似分数……现已知 $\frac{7}{5} < \sqrt{2} < \frac{3}{2}$ ，则使用两次“调日法”可得到 $\sqrt{2}$ 的近似分数为.

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $O$ 为 $A B$ 的中点， $O D$ 平分 $∠ A O C$ 交 $A C$ 于点 $G$ ， $O D = O A$ ， $B D$ 分别与 $A C$ ， $O C$ 交于点 $E$ ， $F$ ，连接 $A D$ ， $C D$ ，则 $\frac{O G}{B C}$ 的值为；若 $C E = C F$ ，则 $\frac{C F}{O F}$ 的值为.

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三、解答题

17. 先化简，再求值： $(1 + \frac{1}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - 4}{2 x + 2}$ ，其中 $x = 1$ .

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18. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $A C$ 上的两点，且 $A E = C F$ .

(1)、求证： $△ A B E$ ≌ $△ C D F$ ；

(2)、证明四边形 $B E D F$ 是菱形.

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19. 疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表：

	已接种	未接种	合计
七年级	30	10	40
八年级	35	15	$a$
九年级	40	$b$	60
合计	105	$c$	150

(1)、表中，

a =

，

b =

，

c =

；

(2)、由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是年级教师；（填“七”或“八”或“九”）

(3)、若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师约有人；

(4)、为更好地响应号召，立德中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年级2名）中随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名教师恰好不在同一年级的概率.

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20. 如图，一次函数 $y_{1} = k x + b$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x}$ （ $m > 0$ ）的图象交于点 $C (1 ， 2)$ ， $D (2 ， n)$ .

(1)、分别求出两个函数的解析式；

(2)、连接 $O D$ ，求 $△ B O D$ 的面积.

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21. 如图， $D$ 是以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上一点，过点 $D$ 的切线 $D E$ 交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，过点 $B$ 作 $B C ⊥ D E$ 交 $A D$ 的延长线于点 $C$ ，垂足为点 $F$ .

(1)、求证： $A B = B C$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 的直径 $A B$ 为9， $\sin A = \frac{1}{3}$ .
①求线段 $B F$ 的长；

②求线段 $B E$ 的长.

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22. 如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟.小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体 $A$ 处，另一端固定在离地面高2米的墙体 $B$ 处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系.已知大棚上某处离地面的高度 $y$ （米）与其离墙体 $A$ 的水平距离 $x$ （米）之间的关系满足 $y = - \frac{1}{6} x^{2} + b x + c$ ，现测得 $A$ ， $B$ 两墙体之间的水平距离为6米.

(1)、直接写出 $b$ ， $c$ 的值；

(2)、求大棚的最高处到地面的距离；

(3)、小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为 $\frac{37}{24}$ 米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？

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23. 等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷.

(1)、在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为，其内切圆的半径长为；

(2)、①如图1， $P$ 是边长为 $a$ 的正 $△ A B C$ 内任意一点，点 $O$ 为 $△ A B C$ 的中心，设点 $P$ 到 $△ A B C$ 各边距离分别为 $h_{1}$ ， $h_{2}$ ， $h_{3}$ ，连接 $A P$ ， $B P$ ， $C P$ ，由等面积法，易知 $\frac{1}{2} a (h_{1} + h_{2} + h_{3}) = S_{△ A B C} = 3 S_{△ O A B}$ ，可得 $h_{1} + h_{2} + h_{3} =$ ▲ ；（结果用含 $a$ 的式子表示）
②如图2， $P$ 是边长为 $a$ 的正五边形 $A B C D E$ 内任意一点，设点 $P$ 到五边形 $A B C D E$ 各边距离分别为 $h_{1}$ ， $h_{2}$ ， $h_{3}$ ， $h_{4}$ ， $h_{5}$ ，参照①的探索过程，试用含 $a$ 的式子表示 $h_{1} + h_{2} + h_{3} + h_{4} + h_{5}$ 的值.（参考数据： $\tan 36 ° \approx \frac{8}{11}$ ， $\tan 54 ° \approx \frac{11}{8}$ ）

(3)、①如图3，已知 $⊙ O$ 的半径为2，点 $A$ 为 $⊙ O$ 外一点， $O A = 4$ ， $A B$ 切 $⊙ O$ 于点 $B$ ，弦 $B C // O A$ ，连接 $A C$ ，则图中阴影部分的面积为 ▲ ；（结果保留 $π$ ）
②如图4，现有六边形花坛 $A B C D E F$ ，由于修路等原因需将花坛进行改造.若要将花坛形状改造成五边形 $A B C D G$ ，其中点 $G$ 在 $A F$ 的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点 $G$ 的位置，并说明理由.

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24. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点 $D$ 的坐标为 $(1 ， - 4)$ .

(1)、直接写出抛物线的解析式；

(2)、如图1，若点 $P$ 在抛物线上且满足 $∠ P C B = ∠ C B D$ ，求点 $P$ 的坐标；

(3)、如图2， $M$ 是直线 $B C$ 上一个动点，过点 $M$ 作 $M N ⊥ x$ 轴交抛物线于点 $N$ ， $Q$ 是直线 $A C$ 上一个动点，当 $△ Q M N$ 为等腰直角三角形时，直接写出此时点 $M$ 及其对应点 $Q$ 的坐标

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