湖北省十堰市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-25 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $- \frac{1}{2}$ 的相反数是（）

A、-2 B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 如图，直线 $A B / / C D ， ∠ 1 = 55 ° ， ∠ 2 = 32 °$ ，则 $∠ 3 =$ （）

A、 $87 °$ B、 $23 °$ C、 $67 °$ D、 $90 °$

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3. 由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{3} = 2 a^{3}$ B、 ${(- 2 a)}^{2} = 4 a^{2}$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ D、 $(a + 2) (a - 2) = a^{2} - 2$

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5. 某校男子足球队的年龄分布如下表

年龄

13

14

15

16

17

18

人数

2

6

8

3

2

1

则这些队员年龄的众数和中位数分别是（）

A、8，15 B、8，14 C、15，14 D、15，15

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6. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（）

A、 $\frac{400}{x} - \frac{450}{x - 50} = 1$ B、 $\frac{450}{x - 50} - \frac{400}{x} = 1$ C、 $\frac{400}{x} - \frac{450}{x + 1} = 50$ D、 $\frac{450}{x + 1} - \frac{400}{x} = 5$

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7. 如图，小明利用一个锐角是 $30 °$ 的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离 $B C$ 为 $15m$ ， $A B$ 为 $1 .5m$ （即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（）

A、 $(15 \sqrt{3} + \frac{3}{2}) m$ B、 $5 \sqrt{3} m$ C、 $15 \sqrt{3} m$ D、 $(5 \sqrt{3} + \frac{3}{2}) m$

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8. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O ， ∠ B A C = 120 ° ， A B = A C ， B D$ 是 $⊙ O$ 的直径，若 $A D = 3$ ，则 $B C =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、3 D、4

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9. 将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）

A、2025 B、2023 C、2021 D、2019

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10. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $A (2 ， 1)$ ，过A作 $A B ⊥ y$ 轴于点B，连 $O A$ ，直线 $C D ⊥ O A$ ，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线 $C D$ 的对称点 $B^{'}$ 恰好落在该反比例函数图象上，则D点纵坐标为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{5} - 1}{4}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{5 \sqrt{5} + 1}{4}$

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二、填空题

11. 已知 $x y = 2 ， x - 3 y = 3$ ，则 $2 x^{3} y - 12 x^{2} y^{2} + 18 x y^{3} =$ .

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12.
如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为．

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13. 对于任意实数a、b，定义一种运算： $a \otimes b = a^{2} + b^{2} - a b$ ，若 $x \otimes (x - 1) = 3$ ，则x的值为.

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14. 如图，在边长为4的正方形 $A B C D$ 中，以 $A B$ 为直径的半圆交对角线 $A C$ 于点E，以C为圆心、 $B C$ 长为半径画弧交 $A C$ 于点F，则图中阴影部分的面积是.

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = 8 ， B C = 6$ ，点P是平面内一个动点，且 $A P = 3$ ，Q为 $B P$ 的中点，在P点运动过程中，设线段 $C Q$ 的长度为m，则m的取值范围是.

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三、解答题

16. 计算： $\sqrt{2} \cos 45 ° + {(\frac{1}{3})}^{- 1} - | - 3 |$ .

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17. 化简： $(\frac{a + 2}{a^{2} - 2 a} - \frac{a - 1}{a^{2} - 4 a + 4}) \div \frac{a - 4}{a}$ .

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18. 为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动.赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图.

等级	成绩（x）	人数
A	$90 \leq x \leq 100$	15
B	$80 \leq x < 90$	a
C	$70 \leq x < 80$	18
D	$x < 70$	7

根据图表信息，回答下列问题：

(1)、表中

a =

；扇形统计图中，C等级所占的百分比是；D等级对应的扇形圆心角为度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有人.

(2)、若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率

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19. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 2 m + 5 = 0$ 有两个不相等的实数根.

(1)、求实数m的取值范围；

(2)、若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值.

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20. 如图，已知 $△ A B C$ 中，D是 $A C$ 的中点，过点D作 $D E ⊥ A C$ 交 $B C$ 于点E，过点A作 $A F / / B C$ 交 $D E$ 于点F，连接 $A E$ 、 $C F$ .

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是菱形；

(2)、若 $C F = 2 ， ∠ F A C = 30 ° ， ∠ B = 45 °$ ，求 $A B$ 的长.

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21. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，C为 $⊙ O$ 上一点， $∠ O C B$ 的角平分线交 $⊙ O$ 于点D，F在直线 $A B$ 上，且 $D F ⊥ B C$ ，垂足为E，连接 $A D$ 、 $B D$ .

(1)、求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $\tan ∠ A = \frac{1}{2}$ ， $⊙ O$ 的半径为3，求 $E F$ 的长.

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22. 某商贸公司购进某种商品的成本为20元/ $kg$ ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/ $kg$ ）与时间x（天）之间的函数关系式为： $y = {\begin{array}{l} 0.25 x + 30 (1 \leq x \leq 20) \\ 35 (20 < x \leq 40) \end{array}$ 且x为整数，且日销量 $m (kg)$ 与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：

时间x（天）

1

3

6

10

…

日销量 $m (kg)$

142

138

132

124

…

填空：

(1)、m与x的函数关系为；

(2)、哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？

(3)、在实际销售的前20天中，公司决定每销售 $1kg$ 商品就捐赠n元利润（ $n < 4$ ）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围.

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23. 已知等边三角形 $A B C$ ，过A点作 $A C$ 的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接 $C P$ ，把线段 $C P$ 绕点C逆时针方向旋转 $60 °$ 得到 $C Q$ ，连 $Q B$ .

(1)、如图1，直接写出线段 $A P$ 与 $B Q$ 的数量关系；

(2)、如图2，当点P、B在 $A C$ 同侧且 $A P = A C$ 时，求证：直线 $P B$ 垂直平分线段 $C Q$ ；

(3)、如图3，若等边三角形 $A B C$ 的边长为4，点P、B分别位于直线 $A C$ 异侧，且 $△ A P Q$ 的面积等于 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求线段 $A P$ 的长度.

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24. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 5$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和 $B (- 5 ， 0)$ ，与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连 $A N$ 交抛物线于M，连 $A C$ 、 $C M$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，当 $\tan ∠ A C M = 2$ 时，求M点的横坐标；

(3)、如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作 $M D ⊥ l$ 于D，若 $M D = \sqrt{3} M N$ ，求N点的坐标.

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年龄	13	14	15	16	17	18
人数	2	6	8	3	2	1

时间x（天）	1	3	6	10	…
日销量 $m (kg)$	142	138	132	124	…