湖北省恩施市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-25 类型：中考真卷

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一、单选题

1. -6的相反数是（）

A、-6 B、6 C、±6 D、 $\frac{1}{6}$

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2. 全国第七次人口普查湖北省常住人口约为5780万，将数5780 万用科学记数法表示为（）

A、 $5.780 \times 10^{8}$ B、 $57.80 \times 10^{6}$ C、 $5.780 \times 10^{7}$ D、 $5.780 \times 10^{6}$

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3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 图中几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $7 a^{3} - 3 a^{2} = 4 a$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ D、 $- a (- a + 1) = a^{2} - a$

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6. 工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是男工人的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{2}{5}$

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7. 从 $\sqrt{2}$ ， $- \sqrt{3}$ ， $- \sqrt{2}$ 这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（）个.

A、0 B、1 C、2 D、3

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8. 分式方程 $\frac{x}{x - 1} + 1 = \frac{3}{x - 1}$ 的解是（）

A、 $x = 1$ B、 $x = - 2$ C、 $x = \frac{3}{4}$ D、 $x = 2$

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9. 某物体在力 $F$ 的作用下，沿力的方向移动的距离为 $S$ ，力对物体所做的功 $W$ 与 $S$ 的对应关系如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $W = \frac{1}{8} S$ B、 $W = 20 S$ C、 $W = 8 S$ D、 $S = \frac{160}{W}$

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10. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 13$ ， $A D = 5$ ， $A C ⊥ B C$ ，则 $▱ A B C D$ 的面积为（）

A、30 B、60 C、65 D、 $\frac{65}{2}$

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11. 如图，在 $4 \times 4$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1， $E$ 为 $B D$ 与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（）

A、 $C E \neq \frac{1}{2} B D$ B、 $△ A B C ≌ △ C B D$ C、 $A C = C D$ D、 $∠ A B C = ∠ C B D$

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12. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $(- 3 ， 0)$ ，顶点是 $(- 1 ， m)$ ，则以下结论：① $a b c > 0$ ；② $4 a + 2 b + c > 0$ ；③若 $y \geq c$ ，则 $x \leq - 2$ 或 $x \geq 0$ ；④ $b + c = \frac{1}{2} m$ .其中正确的有（）个.

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 分解因式： $a - a x^{2} =$ .

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14. 如图，已知 $A E // B C$ ， $∠ B A C = 100 °$ ， $∠ D A E = 50 °$ ，则 $∠ C =$ .

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15. 《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深 $C D$ 等于1寸，锯道 $A B$ 长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）
答：圆形木材的直径寸；

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16. 古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数；

图形							…
五边形数	1	5	12	22	35	51	…

将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表；

1 第一行

5 12 第二行

22 35 51 第三行

… … … … …

观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为.

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三、解答题

17. 先化简，再求值： $1 - \frac{a - 2}{a + 4} \div \frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 8 a + 16}$ ，其中 $a = \sqrt{2} - 2$ .

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18. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，且 $D E / / A C$ ， $A E / / B D$ ，连接 $O E$ .求证： $O E ⊥ A D$ .

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19. 九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试.现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：

	平均数	中位数	众数	方差
甲	175	$a$	$b$	93.75
乙	175	175	180，175，170	$c$

(1)、求

a

、

b

的值；

(2)、若九（1）班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由；

(3)、根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优.

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20. 乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶 $D$ 处观测乙居民楼楼底 $B$ 处的俯角是 $30 °$ ，观测乙居民楼楼顶 $C$ 处的仰角为 $15 °$ ，已知甲居民楼的高为 $10 m$ ，求乙居民楼的高.（参考数据： $\sqrt{2} = 1.414$ ， $\sqrt{3} = 1.732$ ，结果精确到 $0.1 m$ ）

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21. 如图，在平面直角坐标系中， $R t △ A B C$ 的斜边 $B C$ 在 $x$ 轴上，坐标原点是 $B C$ 的中点， $∠ A B C = 30 °$ ， $B C = 4$ ，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 经过点 $A$ .

(1)、求 $k$ ；

(2)、直线 $A C$ 与双曲线 $y = - \frac{3 \sqrt{3}}{x}$ 在第四象限交于点 $D$ .求 $△ A B D$ 的面积.

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22. “互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地.甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销.已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同.

(1)、求每千克花生、茶叶的售价；

(2)、已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克.甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍.则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？

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23. 如图，在 $R t △ A O B$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ， $⊙ O$ 与 $A B$ 相交于点 $C$ ，与 $A O$ 相交于点 $E$ ，连接 $C E$ ，已知 $∠ A O C = 2 ∠ A C E$ .

(1)、求证： $A B$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A O = 20$ ， $B O = 15$ ，求 $C E$ 的长.

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24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $A B C D$ 为正方形，点 $A$ ， $B$ 在 $x$ 轴上，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $B$ ， $D (- 4 ， 5)$ 两点，且与直线 $D C$ 交于另一点 $E$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、 $F$ 为抛物线对称轴上一点， $Q$ 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 $Q$ ， $F$ ， $E$ ， $B$ 为顶点的四边形是以 $B E$ 为边的菱形.若存在，请求出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、 $P$ 为 $y$ 轴上一点，过点 $P$ 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 $M$ ，连接 $M E$ ， $B P$ .探究 $E M + M P + P B$ 是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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