湖北省武汉市武昌区2021年中考数学训练卷（二）

试卷更新日期：2021-06-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- \frac{1}{2}$ 的相反数是（）

A、-2 B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 不透明的袋子中只有3个黑球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2个球，下列事件是必然事件的是（）

A、2个球都是白球 B、2个球都是黑球 C、2个球中有白球 D、2个球中有黑球

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3. 下列四个图形中，中心对称图形是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 计算 ${(- a^{2})}^{3}$ 的结果是（）

A、 $a^{5}$ B、 $- a^{5}$ C、 $a^{6}$ D、 $- a^{6}$

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5. 五个大小相同的正方体塔成的几何体如图所示，其左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 某班从两名男生和两名女生四位选手中随机选取两人参加校演讲比赛，恰好选出是一男一女两位选手的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 若点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ， $C (x_{3} ， y_{3})$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k$ 是常数）的图象上， $x_{1} > 0 > x_{2} > x_{3}$ ， $y_{1} < y_{2}$ 则下列关系正确的是（）

A、 $y_{2} > y_{3} > 0$ B、 $y_{3} > y_{2} > 0$ C、 $y_{2} < y_{3} < 0$ D、 $y_{3} < y_{2} < 0$

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8. 一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：

会员年卡类型	办卡费用（元）	每次游泳收费（元）
A 类	50	25
B 类	200	20
C 类	400	15

例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20＝550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于40～50次之间，则最省钱的方式为（）

A、购买A类会员卡 B、购买B类会员年卡 C、购买C类会员年卡 D、不购买会员年卡

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9. 如图， $A B$ 为半圆 $O$ 的直径， $C$ ， $D$ 是半圆弧上的点， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $D E ⊥ B C$ 于点 $E$ ， $B C = 2 E C$ ， $B D = 3$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 π}{8}$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4} - \frac{π}{2}$ C、 $\frac{9 \sqrt{3}}{8} - \frac{3 π}{8}$ D、 $\frac{9 \sqrt{3}}{8} - \frac{π}{2}$

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10. 在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，函数 $y = \frac{2 \sqrt{3}}{x} (x > 0)$ 与 $y = k x$ 的图象交于点 $A$ ， $O A = 3$ ， $A B ⊥ x$ 轴，垂足为点 $B$ ，过点 $A$ 作 $O A$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $C$ ，则 $\frac{O C}{A B}$ 的值是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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二、填空题

11. 计算 $\sqrt{9}$ 的结果是．

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12. 某校女子排球队12名队员的年龄分布如下表所示，则该校女子排球队12名队员年龄的中位数是．

年龄（岁）

13

14

15

16

人数（人）

1

5

4

2

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13. 方程 $\frac{x}{x - 2} = \frac{3}{2 - x} - 2$ 的解是．

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14. 图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图， $M N$ 为立柱的一部分，灯臂 $A C$ ，支架 $B C$ 与立柱 $M N$ 分别交于 $A$ ， $B$ 两点，灯臂 $A C$ 与支架 $B C$ 交于点 $C$ ，已知 $∠ M A C = 60 °$ ， $∠ A C B = 15 °$ ， $A C = 40 c m$ ，则支架 $B C$ 的长为cm．（结果精确到lcm，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{6} \approx 2.449$ ）

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15. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数， $a < 0$ ）经过 $A (0 ， 3)$ ， $B (4 ， 3)$ ．下列四个结论：① $4 a + b = 0$ ；②点 $P_{1} (x_{1} ， y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2} ， y_{2})$ 在抛物线上，当 $| x_{1} - 2 | - | x_{2} - 2 | > 0$ 时， $y_{1} > y_{2}$ ；③若抛物线与 $x$ 轴交于不同两点 $C$ ， $D$ ，且 $C D \leq 6$ ，则 $a \leq - \frac{3}{5}$ ；④若 $3 \leq x \leq 4$ ，对应的 $y$ 的整数值有3个，则 $- 1 < a \leq - \frac{2}{3}$ ．其中正确的结论是（填写序号）．

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16. 如图， $△ A B C$ 为等边三角形，点 $D$ ， $E$ 分别在 $A B$ ， $B C$ 上，将 $△ A B C$ 沿 $D E$ 折叠，使点 $B$ 落在 $A C$ 边上的点 $F$ 处，连接 $D F$ ， $E F$ ，若 $A F = n F C$ ，则 $\frac{D F}{E F} =$ ．（结果用含 $n$ 的代数式表示）

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三、解答题

17. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x \leq x + 4 ① \\ 5 x - 1 > x - 5 ② \end{array}$ 请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得 ▲ ；

（Ⅱ）解不等式②，得 ▲ ；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为 ▲ ．

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18. 如图，点 $C$ 在 $B E$ 上， $∠ D A E = ∠ E$ ， $∠ B = ∠ D$ ．求证： $A B // D C$ .

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19. 为了解某校学生的睡眠情况，该校数学小组随机调查了部分学生一周的平均每天睡眠时间，设每名学生的平均每天睡眠时间为 $x$ 时，共分为四组：A. $6 \leq x < 7$ ，B. $7 \leq x < 8$ ，C. $8 \leq x < 9$ ，D. $9 \leq x < 10$ ，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：

请回答下列问题：

(1)、本次共调查了名学生；

(2)、扇形统计图中C组所对应的圆心角大小是；

(3)、该校有1500名学生，根据抽样调查结果，请估计该校有多少名学生平均每天睡眠时间低于8时．

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20. 在如图的网格中建立平而直角坐标系， $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (0 ， 1)$ ， $B (2 ， 5)$ ， $C (4 ， 4)$ ，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下列问题：

(1)、直接写出 $△ A B C$ 的形状；

(2)、画出 $A C$ 边上的高线 $B E$ ；

(3)、画出点 $B$ 关于 $A C$ 的对称点 $F$ ；

(4)、 $D (2 ， 1)$ ，点 $P$ 在 $A B$ 上，若 $∠ D P A = 45 °$ ，直接写出点 $P$ 的坐标．

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21. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 切线，切点为 $C$ ，点 $F$ 在 $⊙ O$ 上， $F A ⊥ C D$ ，垂足为点 $E$ ，连接 $C F$ ， $A B$ 交于点 $H$ ．

(1)、求证： $\overset{⌢}{C F} = \overset{⌢}{C B}$ ；

(2)、若 $F A = F H = 1$ ，求 $O B$ 的长．

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22. 在2020年“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将利润的一部分捐赠给社区用于抗疫已知商家购进一批产品，成本价为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售，调查发现，线下的月销量 $y$ （单位：件）与线下售价 $x$ （单位：元/件， $12 < x < 24$ ）满足一次函数关系，部分数据如下表：

$x$ （元/件）

12

13

14

15

16

$y$ （件）

1200

1100

1000

900

800

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为200件．试问：
①当 $x$ 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润；

②商家决定每售出一件该产品给社区捐赠 $a$ 元（ $0 < a < 8$ ），该月扣除捐赠后可获得线上和线下月利润总和的最大利润为3200元，求 $a$ 的值．

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23. 如图，将正方形 $A B C D$ 的边 $D C$ 绕点 $D$ 逆时针旋转至 $D E$ ，旋转角为 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，连接 $C E$ ， $A E$ ， $∠ C D E$ 的角平分线交 $A E$ 于点 $F$ ，连 $B F$ ．

(1)、如图1， $α = 30 °$ ，直接写出 $∠ A E C$ 的大小；

(2)、如图2，求 $\frac{B F}{A E}$ 的值；

(3)、如图3， $α = 60 °$ ， $A B = 1$ ，若 $D E$ 从图1 $(α = 30 °)$ 逆时针旋转到图3时，直接写出点 $F$ 的运动路径长．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数）分别交 $x$ 轴于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (6 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， - 3)$ ，连接 $A C$ ，作射线 $C B$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $F$ 在抛物线上，点 $G$ 在射线 $C B$ 上，若以 $A$ ， $C$ ， $F$ ， $G$ 四点为顶点的四边形是平行四边形，求点 $F$ 的坐标；

(3)、点 $M$ 在射线 $C B$ 上，点 $N$ 在抛物线上，若 $△ C N M \sim △ C O A$ ，求点 $N$ 的坐标．

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年龄（岁）	13	14	15	16
人数（人）	1	5	4	2

$x$ （元/件）	12	13	14	15	16
$y$ （件）	1200	1100	1000	900	800