山东省青岛市胶州2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-06-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- \frac{1}{6}$ 的相反数是（）

A、 $6$ B、 $- 6$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $- \frac{1}{6}$

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2. 在以下绿色食品、低碳、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”顺利升空，当“天问一号”探测器抵达火星附近时，总飞行里程将达到470000000公里.470000000这个数字用科学记数法表示为（）

A、 $4.7 \times 10^{7}$ B、 $4.7 \times 10^{8}$ C、 $4.7 \times 10^{9}$ D、 $47 \times 10^{7}$

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4. 如图， $R t △ A B C$ 的顶点C的坐标为 $(1 ， 0)$ ，点A在x轴正半轴上，且 $A C = 3$ ，将 $△ A B C$ 先绕C顺时针旋转 $90 °$ ，再向左平移2个单位，则点A的对应点 $A^{'}$ 的坐标是（）

A、 $(1 ， 3)$ B、 $(- 1 ， 3)$ C、 $(1 ， - 3)$ D、 $(- 1 ， - 3)$

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5. 若点 $A (x_{1} ， - 5) ， B (x_{2} ， 2) ， C (x_{3} ， 5)$ 都在反比例函数 $y = \frac{10}{x}$ 的图象上，则 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ B、 $x_{2} < x_{3} < x_{1}$ C、 $x_{1} < x_{3} < x_{2}$ D、 $x_{3} < x_{1} < x_{2}$

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6. 如图， $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $\cos A = \frac{4}{5}$ ，以点 $B$ 为圆心， $r$ 为半径作 $⊙ B$ ，当 $r = 3$ 时， $⊙ B$ 与 $A C$ 的位置关系是（）

A、相离 B、相切 C、相交 D、无法确定

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7. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $∠ B C D = 60 °$ ，E是 $A D$ 中点， $B E$ 交 $A C$ 于点F，连接 $D F$ ，则 $D F$ 的长为（）

A、4 B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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8. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 的图像经过点P，若点P的横坐标为-1，则一次函数 $y = (a - b) x + b$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 计算： $(\sqrt{27} + \sqrt{\frac{4}{3}}) \times \sqrt{3} =$ ．

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10. 某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了

6

次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在

6

次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：

甲	$12.0$	$12.0$	$12.2$	$11.8$	$12.1$	$11.9$
乙	$12.3$	$12.1$	$11.8$	$12.0$	$11.7$	$12.1$

由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是．

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11. 临近五一劳动节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过节，租金为5000元，出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到x名，如果包车租金不变，那么甲厂为员工支付的人均车费可比原来少元．（用最简分式表示）

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12. 如图，点O为 $R t △ A B C$ 斜边 $A B$ 上的一点，以 $O A$ 为半径的 $⊙ O$ 与边 $B C$ 相切于点D，与边 $A C$ 相交于点E，连接 $A D$ ，若 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，且 $∠ B = 30 °$ ， $O A = 2$ ，则图中阴影部分的面积为．

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13. 如图，在边长为 $4 cm$ 的正方形 $A B C D$ 中，点Q是边 $C D$ 的中点，点P是边 $B C$ 上的一点，连接 $A P$ ， $P Q$ ，且 $∠ A P Q = ∠ P A D$ ，则线段 $P Q$ 的长为 $cm$ ．

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14. 如图，一个正方体形状的木块，棱长为2米，若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份，得到若干个大大小小的长方体木块，则所有这些长方体木块的表面积和是平方米．

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三、解答题

15. 已知： $△ A B C$ 及 $A B$ 边上一点E．

求作： $⊙ O$ ，使它分别与 $A B$ 、 $B C$ 相切，且点E为其中一个切点．

（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）

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16.

(1)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 4 (2 x - 1) \leq 3 x + 1 \\ \frac{3 x - 8}{5} < x \end{array}$ ．

(2)、已知 $5 x^{2} - x - 2 = 0$ ，求代数式 $(3 x + 2) (3 x - 2) + x (x - 2)$ 的值．

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17. 每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了培养学生的阅读习惯，计划开展以“书香润泽心灵，阅读丰富人生”为主题的读书节活动．在“形象大使”选拔活动中，甲、乙、丙、丁4位同学表现最为优秀，学校现打算从4位同学中任选2人作为学校本次读书节活动的形象大使，请你用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲和乙的概率．

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18. 2020年6月23日，北斗卫星最后一颗全球组网卫星发射成功．运载火箭从地面A处（忽略发射塔高度）竖直向上发射，当运载火箭到达点B处时，地面D处的雷达站测得B处仰角为 $37 °$ ， $B D = 50 km$ .10秒后，运载火箭直线上升到达点 $C$ 处，此时地面E处一观测点测得C处的仰角为 $56 °$ ，已知点A，D，E在同一条直线上，并且D，E两处相距 $15 km$ ，求运载火箭从B处到C处时的平均速度（单位： $km/s$ ）．
（参考数值： $\sin 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\cos 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\tan 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $\sin 56 ° \approx \frac{21}{25}$ ， $\cos 56 ° \approx \frac{14}{25}$ ， $\tan 56 ° \approx \frac{37}{25}$ ）

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19. 为加强安全教育，某校开展了“预防溺水，珍爱生命”安全知识竞赛．现从七，八，九年级学生中随机抽取了50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行了整理和分析．部分信息如下；
a ．参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组： $50 \leq x < 60$ ， $60 \leq x < 70$ ， $70 \leq x < 80$ ， $80 \leq x < 90$ ， $90 \leq x \leq 100$ ）如图所示：

b ．参赛学生成绩在 $70 \leq x < 80$ 这一组的具体得分是：

70，71，73，75，76，76，76，77，77，78，79．

c ．参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：

平均数

中位数

众数

76.9

m

80

d ．参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分．

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、在这次竞赛中，成绩在75分以上（含75分）的有人；

(2)、表中m的值为；

(3)、该校学生共有1500人，假设全部参加此次竞赛，请估计成绩超过平均数76.9分的人数．

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20. 某文具店店主到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，预计购进乙品牌文具盒的数量 $y$ （个）与甲品牌文具盒的数量x（个）之间的函数关系如图所示：

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、该店主用3000元选购了甲品牌的文具盘，又用同样的钱选购了乙品牌的文具盘．已知甲品牌文具盒的单价是乙品牌单价的1.5倍，求所选购的甲、乙文具盒的数量．

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21. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，O是 $B C$ 边的中点，连接 $A O$ 并延长，交 $D C$ 的延长线于点E，且 $∠ E A C = ∠ D A C$ ．

(1)、求证： $O A = O E$ ；

(2)、连接 $B E$ ，判断四边形 $A B E C$ 是什么特殊四边形？证明你的结论．

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22. 在2020年新冠肿炎抗疫期间，经营者小明决定在某直销平台上销售一批口罩，经市场调研发现：该类型口罩每袋进价为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，销售单价每提高1元，销售最就会减少10袋．

(1)、直接写出小明销售该类型口罩的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

(2)、求每天所得销售利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

(3)、若每天销售量不少于200袋，且每袋口罩的销售利润至少为7元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？

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23.

问题提出：

如果在一个平面内画出n条直线，最多可以把这个平面分成几部分？

问题探究：

为解决问题，我们经常采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进到复杂的情形，在探究的过程中，通过归纳得出一般性的结论，进而拓展应用．

探究一：

如图1，当在平面内不画（0条）直线时，显然该平面只有1部分，可记为 $f (0) = 1$ ．

探究二：

如图2，当在平面内画1条直线时，该平面最多被分成了2部分，比前一次多了1部分，可记为 $f (1) = 1 + 1 = 2$ ．

探究三：

当在平测内而2条使线，若两条直线平行（如图3），该平面被分成3部分；若两条直线相变（如图4），交点将第2条直线分成2段，每一段将平面多分出1部分，因此比前一次多2部分，该平面分成4部分，因此当在平面内画2条直线时，该平面最多被分成4部分，可记为 $f (2) = 1 + 1 + 2 = 4$ ，我们获得的直接经验是：直线相交时，平面被分成的部分多

探究四：

当在平面内画3条直线，若3条直线相交于一点（如图 5），该平面被分成6部分；若3条直线的交点都不相同时（如图6），第3条直线与前两条直线有2个交点，该直线被2个交点分成了3段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出3 部分，该平面被分成7部分．因此当在平面内画3条直线时，该平面最多被分成7部分，可记为 $f (3) = 1 + 1 + 2 + 3 = 7$ ．我们获得的经验是：直线相交的交点个数越多，平面被分成的部分就越多．所以直接探索直线交点个数最多的情况即可．

探究五：

当在平面内画4条直线（如图7），第4条直线与前3条直线有3 个交点，该直线被3个交点分成了4段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出4部分，该平面被分成11分．因此当在平面内画4条直线时，该平面最多被分成11部分，可记为 $f (4) = 1 + 1 + 2 + 3 + 4 = 11$ ．

(1)、探究六：
在平面内面5条直线，最多可以把这个平面分成几部分？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图）

(2)、问题解决：
如果在一个平面内画出n条直线，最多可以把这个平面分成部分．

(3)、应用与拓展：
①如果一个平面内的10条直线将平面分成了50个部分，再增加2条直线，则该平面至多被分成个部分．

②如果一个平面被直线分成了497部分，那么直线的条数至少有条．

③一个正方体蛋糕切5刀，被分成的块数至多为块．

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24. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8 cm$ ， $B C = 6 cm$ ，连接 $A C$ ，点O为 $A C$ 的中点，点E为边 $B C$ 上的一个动点，连接 $O E$ ，作 $O F ⊥ O E$ ，交边 $A B$ 于点F．已知点E从点B开始，以 $1 cm/s$ 的速度在线段 $B C$ 上移动，设运动时间为 $t (s) (0 < t < 6)$ ．解答下列问题：

(1)、当t为何值时， $O E / / A B$ ？

(2)、连接 $E F$ ，设 $△ O E F$ 的面积为 $y ({cm}^{2})$ ，求y与t的函数关系式；

(3)、在运动过程中，是否存在某一时刻t，使 $S_{△ O E F} ： S_{矩形 A B C D} = 51 ： 384$ ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

(4)、连接 $O B$ ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使 $O B$ 恰好将 $△ O E F$ 分成面积比为 $1 ： 2$ 的两部分？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

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平均数	中位数	众数
76.9	m	80