人教版2019 必修一 4.5 函数的应用（二）同步练习

试卷更新日期：2021-06-25 类型：同步测试

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + x - 2, x \leq 0 \\ - 1 + \ln x, x > 0 \end{array}$ 的零点个数为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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2. 函数 $f (x) = \ln (x + 1) - \frac{2}{x}$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, e)$ D、 $(3, 4)$

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3. 若函数 $f (x) = a^{x} - x - a$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）有两个不同零点，则a的取值范围是（）

A、 $(2 ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 $(0 ， 1)$

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4. 下列函数中，没有零点的是（）

A、 $f (x) = \log_{2} x - 7$ B、 $f (x) = \sqrt{x} - 1$ C、 $f (x) = \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = x^{2} + x$

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5. 下列函数图象与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若函数 $f (x) = x^{3} + x^{2} - 2 x - 2$ 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

$f (1) = - 2$

$f (1.5) = 0.625$

$f (1.25) = - 0.984$

$f (1.375) = - 0.260$

$f (1.4375) = 0.162$

$f (1.40625) = - 0.054$

那么方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x - 2 = 0$ 的一个近似根（精确度 $0 .05$ ）可以是（）

A、1.25 B、0.39 C、1.41 D、1.5

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7. 函数 $f (x) = x - 2 + | \ln x |$ 在定义域内的零点的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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8. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | 2^{x} - 1 | ， x \leq 2 \\ - x + 5 ， x > 2 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - t (t \in R)$ 有3个不同的零点 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则 $2^{a} + 2^{b} + 2^{c}$ 的取值范围是（）

A、 $[16 ， 32]$ B、 $[16 ， 34)$ C、 $(18 ， 32]$ D、 $(18 ， 34)$

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二、多选题

9. 在下列区间中，存在函数 $f (x) = \ln x - x + \frac{3}{2}$ 的零点的是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(2 ， 3)$

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10. 若方程 $x^{2} + 2 x + λ = 0$ 在区间 $(- 1, 0)$ 上有实数根，则实数 $λ$ 的取值可以是（）

A、-3 B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、1

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11. 下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x) = \ln (x + 1) - \frac{2}{x}$ 只有一个零点，且该零点在区间 $(0, 1)$ 上 B、若 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (1 - x) = f (1 + x)$ ，且当 $x \in (- 1, 0)$ 时， $f (x) = \log_{2} x^{2}$ ，则 $f (\frac{3}{2}) = 2$ C、已知 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x - 1)$ 为奇函数， $f (x + 1)$ 为偶函数，则 $f (x + 7)$ 一定是奇函数 D、实数 $a \in (- 1, 0)$ 是命题“ $\exists x \in R, a x^{2} + 2 a x - 1 ⩾ 0$ ”为假命题的充分不必要条件

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12. 已知 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ ，分析该函数图象的特征，若方程 $f (x) = 0$ 一根大于3，另一根小于2，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $2 < - \frac{b}{2 a} < 3$ B、 $4 a c - b^{2} < 0$ C、 $f (2) < 0$ D、 $f (3) < 0$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = x - \sqrt{x} - 6$ 的零点个数是

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14. 已知 $f (x) = | 2 x - x^{2} | - m$ 有四个零点，则m的取值范围.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{2}{x}, x \geq 2 \\ {(x - 1)}^{3}, x < 2 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = k$ 有两个不同的实根，则数 $k$ 的取值范围是.

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16. 已知 $λ \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 4, x \geq λ \\ x^{2} - 2 x + λ, x < λ \end{array}$ ，若 $f (x)$ 恰有两个不同的零点，则 $λ$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \ln (3 + x) + \ln (3 - x)$ 的定义域为 $(- 3, 3)$ .
（Ⅰ）证明：函数 $f (x)$ 是偶函数；

（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的零点.

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18. 已知函数f（x）=x²+（a+2）x+b满足f（﹣1）=﹣2

(1)、若方程f（x）=2x有唯一的解；求实数a，b的值；

(2)、若函数f（x）在区间[﹣2，2]上不是单调函数，求实数a的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} - x + \frac{1}{x} - 2 (x > 0)$

(1)、用定义证明 $f (x)$ 在(0，1)内单调递减；

(2)、证明 $f (x)$ 存在两个不同的零点 $x {}_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 2$ .

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20. 经市场调查，东方百货超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计算），销售价格f（t）与时间（天）的函数关系近似满足 $f (t) = 100 (1 + \frac{1}{t})$ ，销售量g（t）与时间（天）的函数关系近似满足g（t）= ${\begin{matrix} 100 + t (1 \leq t < 25 ， t \in N) \\ 150 - t (25 \leq t \leq 30 ， t \in N) \end{matrix}$ ．

(1)、试写出该商品的日销售金额W（t）关于时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数表达式；

(2)、求该商品的日销售金额W（t）的最大值与最小值．

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 (a - 1) x + a^{2} - 2$ .

(1)、若 $f (x)$ 存在一正，一负两个零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 2]$ 上是减函数，求 $f (x)$ 在[1，a]上的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = \log_{4} (4^{x} + 1) - \frac{1}{2} x$ ， $x \in R$ .

(1)、证明： $f (x)$ 为偶函数；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象与直线 $y = \frac{1}{2} x + a$ 没有公共点，求a的取值范围；

(3)、若函数 $g (x) = 4^{f (x) + \frac{x}{2}} + m \cdot 2^{x} - 1 ， x \in [0 ， \log_{2} 3]$ ，是否存在m，使 $g (x)$ 最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

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$f (1) = - 2$	$f (1.5) = 0.625$	$f (1.25) = - 0.984$
$f (1.375) = - 0.260$	$f (1.4375) = 0.162$	$f (1.40625) = - 0.054$