辽宁省朝阳市2020-2021学年八年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-06-25 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30分．每小题只有一个选项符合题意）

1. 下列根式中，是最简二次根式的是（　　）

A、 $\sqrt{0.3}$ B、 $\sqrt{\frac{2}{5}}$ C、 $\sqrt{2 a b^{2} c}$ D、 $\sqrt{a^{2} + 9}$

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2. 二次根式 $\sqrt{x - 3}$ 中， $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \geq 3$ B、 $x > 3$ C、 $x < 3$ D、 $x \leq 3$

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3. 已知 $a$ 、 $b$ 、为 $△ A B C$ 的三边，且满足 $(a - b) (a^{2} + b^{2} - c^{2}) = 0$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形

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4. 已知在平行四边形ABCD中，∠A＝∠B+40°，则∠A的度数为（）

A、35° B、70° C、110° D、140°

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5. 下列命题中，其逆命题成立的是有（）
①同旁内角互补，两直线平行；

②如果两个角是直角，那么它们相等；

③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；

④如果三角形的三边长 $a$ ， $b$ ，满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，那么这个三角形是直角三角形

A、①③④ B、①②③ C、②④ D、①④

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6. 下列命题中，真命题是（）

A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B、对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 C、直角三角形中， $30 °$ 角所对直角边都等于斜边的一半 D、对角线相等的平行四边形是正方形

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7. 《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“三角形的面积=底×高 $\div 2$ ”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求取三角形面积，用现代式子可表示为： $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ （其中 $a$ 、 $b$ 、为三角形的三条边长， $S$ 为三角形的面积）．如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = \sqrt{6}$ ， $A D = \sqrt{3}$ ，对角线 $B D = \sqrt{5}$ ，则平行四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{11}$ B、 $\sqrt{14}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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8. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，下列条件不能判定四边形 $A B C D$ 是平行四边形的是（）

A、 $A B // D C$ ， $A D // B C$ B、 $A B = D C$ ， $A D = B C$ C、 $A D // B C$ ， $A B = D C$ D、 $A B // D C$ ， $A B = D C$

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9. 在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片 $A B C D$ 可以进行如下操作：①把 $△ A B F$ 翻折，点 $B$ 落在 $C$ 边上的点 $E$ 处，折痕为 $A F$ ，点 $F$ 在 $B C$ 边上；②把 $△ A D H$ 翻折，点 $D$ 落在 $A E$ 边上的点 $G$ 处，折痕为 $A H$ ，点 $H$ 在 $C D$ 边上，若 $A D = 6$ ， $C D = 10$ ，则 $\frac{E H}{E F} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{4}$

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10. 如图1，四边形 $A B C D$ 是菱形，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $P$ ， $Q$ 两点同时从点 $O$ 出发，以厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动． $P$ ， $Q$ 的运动路线：点 $P$ 为 $O - A - D - O$ ，点 $Q$ 为 $O - C - B - O$ ．设运动的时间为 $x$ 秒， $P$ ， $Q$ 间的距离为 $y$ 厘米， $y$ 与 $x$ 的函数关系的图象大致如图2所示，则菱形 $A B C D$ 的面积为（   ）


图1                      图2

A、 $2 \sqrt{3} {cm}^{2}$ B、 $2 {cm}^{2}$ C、 $\sqrt{3} {cm}^{2}$ D、 $\sqrt{2} {cm}^{2}$

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二、填空题（18分）

11. 若等式 $\sqrt{2 x^{2} - x^{3}} = x \sqrt{2 - x}$ 成立，则 $x$ 的取值范围是．

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12. 已知在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $B C = 4$ ，则 $Rt △ A B C$ 的面积为．

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13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A$ 的坐标为 $(9 ， 0)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(3 ， 3 \sqrt{3})$ ，四边形 $O A B C$ 是平行四边形，点 $D$ 、 $E$ 份别在边 $O A$ 、 $B C$ 上，且 $O D = \frac{1}{3} O A$ ， $C E = 4$ ．动点 $P$ 、 $Q$ 在 $▱ O A B C$ 的一组邻边上，以点 $D$ 、 $E$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为．

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14. 如图，已知 $∠ X O Y = 60 °$ ，点 $A$ 在边 $O X$ 上， $O A = 4$ ，过点 $A$ 作 $A C ⊥ O Y$ 于点 $C$ ，以 $A C$ 为一边在 $∠ X O Y$ 内作等腰直角三角形 $A B C$ ，点 $P$ 是 $△ A B C$ 围成的区域（不包括各边）内的一点，过点 $P$ 作 $P D / / O Y$ 交 $O x$ 于点 $D$ ，作 $P E / / O X$ 交 $O Y$ 于点 $E$ ，设 $m = O D + 2 O E$ ，则 $m$ 取值范围是.

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15. 如图，在边长为10的菱形 $A B C D$ 中，对角线 $B D = 16$ ，点O是线段 $B D$ 上的动点， $O E ⊥ A B$ 于E， $O F ⊥ A D$ 于F.则 $O E + O F =$ .

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16. 如图，四边形 $A B C D$ 是矩形纸片， $A B = 2$ ，对折矩形纸片 $A B C D$ ，使 $A D$ 与 $B C$ 重合，折痕为 $E F$ ，展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在 $E F$ 上的点N处，折痕 $B M$ 与 $E F$ 相交于点Q；再次展平，连接 $B N ， M N$ ，延长 $M N$ 交 $B C$ 于点G；P为线段 $B M$ 上一动点．有如下结论：① $∠ A B N = 60 °$ ；② $A M = 1$ ；③ $△ B M G$ 是等边三角形；④ $Q N = \frac{2}{3} \sqrt{3}$ ；⑤H是 $B N$ 的中点，则 $P N + P H$ 的最小值是 $\sqrt{3}$ ．其中正确结论的序号是．

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三、解答题（72分）

17. 计算： ${(- 1)}^{2020} + \sqrt{9} - π^{0} + \sqrt{\frac{1}{8}} \times \sqrt{32}$ ．

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18. 如图，2020年5月14日1号台风“黄蜂过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面3米处折断，大树顶部落在距离大树底部4米处的地面上．求这棵树折断之前的高度．

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B = C D$ ， $A D = B C$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，且 $O A = O D$ ．求证：四边形 $A B C D$ 是矩形．

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20. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B = 60 °$ ， $A E ⊥ B C$ ， $A F ⊥ C D$ ，垂足分别为点 $E$ 、 $F$ ．

(1)、求 $∠ E A F$ 的度数；

(2)、如果 $A B = 6$ ，求线段 $A E$ 的长．

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21. 阅读下列问题：
$\frac{1}{1 + \sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$ ； $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ；

以上化简的方法叫作分母有理化，仿照以上方法化简：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} =$ ；

(2)、求 $\frac{1}{\sqrt{2021} + \sqrt{2020}}$ 的值：

(3)、求 $\frac{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}}{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}}$ （ $n$ 为正整数）的值.

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22. 如图，已知 $△ A B C$ ，直线 $P Q$ 垂直平分 $A C$ ，与边 $A B$ 交于点 $E$ ，连接 $C E$ ，过点 $C$ 作 $C F // B A$ 交 $P Q$ 于点 $F$ ，连接 $A F$ ．

(1)、求证： $△ A E D ≌ △ C F D$ ；

(2)、求证：四边形 $A E C F$ 是菱形；

(3)、若 $E D = 6$ ， $A E = 10$ ，则菱形 $A E C F$ 的面积是多少？

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23. 如图1，在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 6 cm$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发以 $1 cm / s$ 的速度沿 $A B$ 匀速运动，动点 $Q$ 同时从点 $C$ 出发以同样的速度沿 $B C$ 的延长线方向匀速运动，当点 $P$ 到达点 $B$ 时，点 $P$ 、 $Q$ 同时停止运动，设运动时间为 $t (s)$ ．过点 $P$ 作 $P E ⊥ A C$ 于 $E$ ，以 $C Q$ 、 $C E$ 为边作平行四边形 $C Q F E$ ．

图1 图2

(1)、 $A E =$ ， $C E =$ ；（用含的代数式表示）

(2)、当平行四边形 $C Q F E$ 为菱形时，请求出的值；

(3)、如图1，连接 $P Q$ ，交 $A C$ 边于点 $D$ ，求线段 $D E$ 的长；

(4)、如图2，取线段 $B C$ 的中点 $M$ ，连接 $P M$ ，将 $△ B P M$ 沿直线 $P M$ 翻折，得 $△ B^{'} P M$ ，连接 $A B^{'}$ ，请求出 $A B^{'}$ 的最小值．

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