四川省眉山市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 6的相反数是（）

A、 $- \frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、-6 D、6

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2. 2020年7月23日，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在海南文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，每天基本飞行200万千米，并于2021年5月15日成功着陆预选区，火星上首次留下了中国的足迹.将200万用科学记数法表示为（）

A、 $2 \times 10^{2}$ B、 $2 \times 10^{6}$ C、 $2 \times 10^{9}$ D、 $0.2 \times 10^{7}$

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3. 下列计算中，正确的是（）

A、 $a^{5} \times a^{3} = a^{15}$ B、 $a^{5} \div a^{3} = a$ C、 ${(- a^{2} b^{3})}^{4} = a^{8} b^{12}$ D、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$

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4. 如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若 $∠ 1 = 48 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、42° B、48° C、52° D、60°

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5. 正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（）

A、1：3 B、1：2 C、2：1 D、3：1

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6. 化简 $(1 + \frac{1}{a - 1}) \div \frac{a^{2}}{a^{2} - 1}$ 的结果是（）

A、 $a + 1$ B、 $\frac{a + 1}{a}$ C、 $\frac{a - 1}{a}$ D、 $\frac{a + 1}{a^{2}}$

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7. 全民反诈，刻不容缓！陈科同学参加学校举行的“防诈骗”主题演讲比赛，五位评委给出的分数分别为90，80，86，90，94，则这组数据的中位数和众数分别是（）

A、80，90 B、90，90 C、86，90 D、90，94

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8. 我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是（）

A、 $7.2 π$ B、 $11.52 π$ C、 $12 π$ D、 $13.44 π$

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9. 已知一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1}^{2} - 5 x_{1} - 2 x_{2}$ 的值为（）

A、-7 B、-3 C、2 D、5

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10. 如图，在以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 中，点 $C$ 为圆上的一点， $\overset{⌢}{B C} = 3 \overset{⌢}{A C}$ ，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ，弦 $A F$ 交 $C E$ 于点 $H$ ，交 $B C$ 于点 $G$ .若点 $H$ 是 $A G$ 的中点，则 $∠ C B F$ 的度数为（）

A、18° B、21° C、22.5° D、30°

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11. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 5$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，则该抛物线关于点 $C$ 成中心对称的抛物线的表达式为（）

A、 $y = - x^{2} - 4 x + 5$ B、 $y = x^{2} + 4 x + 5$ C、 $y = - x^{2} + 4 x - 5$ D、 $y = - x^{2} - 4 x - 5$

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12. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $A B = 6$ ， $∠ D A C = 60 °$ ，点 $F$ 在线段 $A O$ 上从点 $A$ 至点 $O$ 运动，连接 $D F$ ，以 $D F$ 为边作等边三角形 $D F E$ ，点 $E$ 和点 $A$ 分别位于 $D F$ 两侧，下列结论：① $∠ B D E = ∠ E F C$ ；② $E D = E C$ ；③ $∠ A D F = ∠ E C F$ ；④点 $E$ 运动的路程是 $2 \sqrt{3}$ ，其中正确结论的序号为（）

A、①④ B、①②③ C、②③④ D、①②③④

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二、填空题

13. 分解因式： $x^{3} y - x y =$ .

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14. 一次函数 $y = (2 a + 3) x + 2$ 的值随 $x$ 值的增大而减少，则常数 $a$ 的取值范围是.

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15. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 6$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，分别以点 $A$ 和点 $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $M$ 和点 $N$ ，作直线 $M N$ ，交 $A D$ 于点 $E$ ，则 $D E$ 的长为.

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16. 若关于 $x$ 的不等式 $x + m < 1$ 只有3个正整数解，则 $m$ 的取值范围是.

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17. 观察下列等式： $x_{1} = \sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = \frac{3}{2} = 1 + \frac{1}{1 \times 2}$ ；
$x_{2} = \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = \frac{7}{6} = 1 + \frac{1}{2 \times 3}$ ；

$x_{3} = \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = \frac{13}{12} = 1 + \frac{1}{3 \times 4}$ ；

……

根据以上规律，计算 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{2020} - 2021 =$ .

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18. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = A C = 10$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $M$ 在线段 $A C$ 上，且 $A M = 3$ ，点 $P$ 为线段 $B D$ 上的一个动点，则 $M P + \frac{1}{2} P B$ 的最小值是.

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三、解答题

19. 计算： ${(4 - \sqrt{3})}^{0} - 3 \tan 60 ° - {(- \frac{1}{2})}^{- 1} + \sqrt{12}$ .

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20. 解方程组 ${\begin{array}{l} 3 x - 2 y + 20 = 0 \\ 2 x + 15 y - 3 = 0 \end{array}$

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21. 吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定.为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从我市某校1000名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图.

请根据统计图回答下列问题：

(1)、本次抽取调查的学生共有人，其中“了解较多”的占 %；

(2)、请补全条形统计图：

(3)、估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有人；

(4)、“了解较少”的四名学生中，有3名学生 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 是初一学生，1名学生 $B$ 为初二学生，为了提高学生对禁毒知识的认识，对这4人进行了培训，然后从中随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测.请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到初一、初二学生各1名的概率.

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22. “眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从 $A$ 处测得该建筑物顶端 $C$ 的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达 $B$ 处，测得顶端 $C$ 的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据： $\sin 24 ° \approx \frac{2}{5}$ ， $\cos 24 ° \approx \frac{9}{10}$ ， $\tan 24 ° \approx \frac{9}{20}$ ）

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23. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动.每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同.已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍.

(1)、足球和篮球的单价各是多少元？

(2)、根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？

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24. 如图，直线 $y = \frac{3}{4} x + 6$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ .直线 $M N // A B$ ，且与 $△ A O B$ 的外接圆 $⊙ P$ 相切，与双曲线 $y = - \frac{30}{x}$ 在第二象限内的图象交于 $C$ 、 $D$ 两点.

(1)、求点 $A$ ， $B$ 的坐标和 $⊙ P$ 的半径；

(2)、求直线 $M N$ 所对应的函数表达式；

(3)、求 $△ B C N$ 的面积.

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25. 如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 2 \sqrt{5}$ ，边长为2的正方形 $D E F G$ 的对角线交点与点 $C$ 重合，连接 $A D$ ， $B E$ .

(1)、求证： $△ A C D ≌ △ B C E$ ；

(2)、当点 $D$ 在 $△ A B C$ 内部，且 $∠ A D C = 90 °$ 时，设 $A C$ 与 $D G$ 相交于点 $M$ ，求 $A M$ 的长；

(3)、将正方形 $D E F G$ 绕点 $C$ 旋转一周，当点 $A$ 、 $D$ 、 $E$ 三点在同一直线上时，请直接写出 $A D$ 的长.

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26. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4 (a \neq 0)$ 经过点 $A (- 2 ， 0)$ 和点 $B (4 ， 0)$ .

(1)、求这条抛物线所对应的函数表达式；

(2)、点 $P$ 为该抛物线上一点（不与点 $C$ 重合），直线 $C P$ 将 $△ A B C$ 的面积分成2：1两部分，求点 $P$ 的坐标；

(3)、点 $M$ 从点 $C$ 出发，以每秒1个单位的速度沿 $y$ 轴移动，运动时间为 $t$ 秒，当 $∠ O C A = ∠ O C B - ∠ O M A$ 时，求 $t$ 的值.

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