四川省广安市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 16的平方根是（）

A、 ±4 B、4 C、±8 D、8

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2. 下列运算中，正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{5} = a^{10}$ B、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ C、 ${(- 3 a^{3})}^{2} = 6 a^{6}$ D、 $- 3 a^{2} b + 2 a^{2} b = - a^{2} b$

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3. 到2021年6月3日，我国31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团，累计接种新冠疫苗约7.05亿剂次，请将7.05亿用科学记数法表示（）

A、 $7.05 \times 10^{7}$ B、 $70.5 \times 10^{8}$ C、 $7.05 \times 10^{8}$ D、 $7.05 \times 10^{9}$

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4. 下列几何体的主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + 2) x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 有实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq \frac{1}{4}$ 且 $a \neq - 2$ B、 $a \leq \frac{1}{4}$ C、 $a < \frac{1}{4}$ 且 $a \neq - 2$ D、 $a < \frac{1}{4}$

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6. 下列说法正确的是（）

A、为了了解全国中学生的心理健康情况，选择全面调查 B、在一组数据7，6，5，6，6，4，8中，众数和中位数都是6 C、“若 $a$ 是实数，则 $| a | > 0$ ”是必然事件 D、若甲组数据的方差 $S_{甲}^{2} = 0.02$ ，乙组数据的方差 $S_{乙}^{2} = 0.12$ ，则乙组数据比甲组数据稳定

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7. 若点 $A (- 3 ， y_{1})$ ， $B (- 1 ， y_{2})$ ， $C (2 ， y_{3})$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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8. 如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $55 °$ 得到 $△ A D E$ ，若 $∠ E = 70 °$ 且 $A D ⊥ B C$ 于点 $F$ ，则 $∠ B A C$ 的度数为（）

A、 $65 °$ B、 $70 °$ C、 $75 °$ D、 $80 °$

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9. 如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从 $A$ 地走到 $B$ 地有观赏路（劣弧 $A B$ ）和便民路（线段 $A B$ ）.已知 $A$ 、 $B$ 是圆上的点， $O$ 为圆心， $∠ A O B = 120 °$ ，小强从 $A$ 走到 $B$ ，走便民路比走观赏路少走（）米.

A、 $6 π - 6 \sqrt{3}$ B、 $6 π - 9 \sqrt{3}$ C、 $12 π - 9 \sqrt{3}$ D、 $12 π - 18 \sqrt{3}$

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10. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，有下列结论：① $a b c > 0$ ，② $4 a - 2 b + c < 0$ ，③ $a - b \geq x (a x + b)$ ，④ $3 a + c < 0$ ，正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 在函数y= $\sqrt{2 x - 1}$ 中，自变量x的取值范围是．

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12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是．

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13. 一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x²-6x+8=0的根，则三角形的周长为.

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14. 若 $x$ 、 $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x - 2 y = - 2 \\ x + 2 y = 3 \end{array}$ ，则代数式 $x^{2} - 4 y^{2}$ 的值为.

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15. 如图，将三角形纸片 $A B C$ 折叠，使点 $B$ 、 $C$ 都与点 $A$ 重合，折痕分别为 $D E$ 、 $F G$ .已知 $∠ A C B = 15 °$ ， $A E = E F$ ， $D E = \sqrt{3}$ ，则 $B C$ 的长为.

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16. 如图，在平面直角坐标系中， $A B ⊥ y$ 轴，垂足为 $B$ ，将 $△ A B O$ 绕点 $A$ 逆时针旋转到 $△ A B_{1} O_{1}$ 的位置，使点 $B$ 的对应点 $B_{1}$ 落在直线 $y = - \frac{3}{4} x$ 上，再将 $△ A B_{1} O_{1}$ 绕点 $B_{1}$ 逆时针旋转到 $△ A_{1} B_{1} O_{2}$ 的位置，使点 $O_{1}$ 的对应点 $O_{2}$ 也落在直线 $y = - \frac{3}{4} x$ 上，以此进行下去……若点 $B$ 的坐标为 $(0 ， 3)$ ，则点 $B_{21}$ 的纵坐标为.

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三、解答题

17. 计算： ${(3.14 - π)}^{0} - \sqrt{27} + | 1 - \sqrt{3} | + 4 \sin 60 °$ .

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18. 先化简： $\frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} - 1} \div (a - \frac{2 a}{a + 1})$ ，再从-1，0，1，2中选择一个适合的数代入求值.

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $A B$ 、 $A D$ 的延长线上，且 $B E = D F$ .连接 $C E$ 、 $C F$ .
求证： $C E = C F$ .

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20. 如图，一次函数 $y_{1} = k x + b (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象交于 $A (- 1 ， n)$ ， $B (3 ， - 2)$ 两点.

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、点 $P$ 在 $x$ 轴上，且满足 $△ A B P$ 的面积等于4，请直接写出点 $P$ 的坐标.

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21. 在中国共产党成立100周年之际，我市某中学开展党史学习教育活动.为了了解学生学习情况，在七年级随机抽取部分学生进行测试，并依据成绩（百分制）绘制出以下两幅不完整的统计图.请根据图中信息回答下列问题：

(1)、本次抽取调查的学生共有人，扇形统计图中表示 $C$ 等级的扇形圆心角度数为.

(2)、 $A$ 等级中有2名男生，2名女生.从中随机抽取2人参加学校组织的知识问答竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率.

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22. 国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：

水果单价

甲

乙

进价（元/千克）

$x$

$x + 4$

售价（元/千克）

20

25

已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同.

(1)、求 $x$ 的值；

(2)、若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

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23. 如图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知跑步机手柄 $A B$ 与地面 $D E$ 平行，踏板 $C D$ 长为 $1.5 m$ ， $C D$ 与地面 $D E$ 的夹角 $∠ C D E = 15 °$ ，支架 $A C$ 长为 $1 m$ ， $∠ A C D = 75 °$ ，求跑步机手柄 $A B$ 所在直线与地面 $D E$ 之间的距离.（结果精确到 $0.1 m$ .参考数据： $\sin 15 ° \approx 0.26$ ， $\cos 15 ° \approx 0.97$ ， $\tan 15 ° \approx 0.27$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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24. 下图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段 $A B$ 的端点都在格点上.要求以 $A B$ 为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上.请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形.

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25. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $F$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ B A F$ 的平分线 $A E$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $E D ⊥ A F$ ，交 $A F$ 的延长线于点 $D$ ，延长 $D E$ 、 $A B$ 相交于点 $C$ .

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为5， $\tan ∠ E A D = \frac{1}{2}$ ，求 $B C$ 的长.

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26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与坐标轴相交于 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点，其中 $A$ 点坐标为 $(3 ， 0)$ ， $B$ 点坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，连接 $A C$ 、 $B C$ .动点 $P$ 从点 $A$ 出发，在线段 $A C$ 上以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度向点 $C$ 做匀速运动；同时，动点 $Q$ 从点 $B$ 出发，在线段 $B A$ 上以每秒1个单位长度向点 $A$ 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接 $P Q$ ，设运动时间为 $t$ 秒.

(1)、求 $b$ 、 $c$ 的值；

(2)、在 $P$ 、 $Q$ 运动的过程中，当 $t$ 为何值时，四边形 $B C P Q$ 的面积最小，最小值为多少？

(3)、在线段 $A C$ 上方的抛物线上是否存在点 $M$ ，使 $△ M P Q$ 是以点 $P$ 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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水果单价	甲	乙
进价（元/千克）	$x$	$x + 4$
售价（元/千克）	20	25