陕西省2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 计算： $3 \times (- 2) =$ （）

A、1 B、-1 C、6 D、-6

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2. 下列图形中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 计算： ${(a^{3} b)}^{- 2} =$ （）

A、 $\frac{1}{a^{6} b^{2}}$ B、 $a^{6} b^{2}$ C、 $\frac{1}{a^{5} b^{2}}$ D、 $- 2 a^{3} b$

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4. 如图，点D、E分别在线段 $B C$ 、 $A C$ 上，连接 $A D$ 、 $B E$ .若 $∠ A = 35 °$ ， $∠ B = 25 °$ ， $∠ C = 50 °$ ，则 $∠ 1$ 的大小为（）

A、60° B、70° C、75° D、85°

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5. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，连接 $A C$ 、 $B D$ ，则 $\frac{A C}{B D}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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6. 在平面直角坐标系中，若将一次函数 $y = 2 x + m - 1$ 的图象向左平移3个单位后，得到个正比例函数的图象，则m的值为（）

A、-5 B、5 C、-6 D、6

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7. 如图， $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 、 $D E$ 是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线.若 $A C = 6 cm$ ， $C D ⊥ B C$ ，则线段 $C E$ 的长度为（）

A、6 cm B、7 cm C、 $6 \sqrt{2} cm$ D、8cm

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8. 下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：

$x$

…

-2

0

1

3

…

$y$

…

6

-4

-6

-4

…

下列各选项中，正确的是

A、这个函数的图象开口向下 B、这个函数的图象与x轴无交点 C、这个函数的最小值小于-6 D、当 $x > 1$ 时，y的值随x值的增大而增大

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二、填空题

9. 分解因式x³+6x²+9x= ．

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10. 正九边形一个内角的度数为.

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11. 幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图.如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为.

-1

-6

1

0

a

-4

-5

2

-3

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12. 若 $A (1 ， y_{1})$ ， $B (3 ， y_{2})$ 是反比例函数 $y = \frac{2 m - 1}{x} (m < \frac{1}{2})$ 图象上的两点，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的大小关系是 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“>”、“=”或“<”）

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13. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4， $⊙ O$ 的半径为1.若 $⊙ O$ 在正方形 $A B C D$ 内平移（ $⊙ O$ 可以与该正方形的边相切），则点A到 $⊙ O$ 上的点的距离的最大值为.

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三、解答题

14. 计算： ${(- \frac{1}{2})}^{0} + | 1 - \sqrt{2} | - \sqrt{8}$ .

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15. 解不等式组： ${\begin{array}{l} x + 5 < 4 \\ \frac{3 x + 1}{2} \geq 2 x - 1 \end{array}$

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16. 解方程： $\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{3}{x^{2} - 1} = 1$ .

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17. 如图，已知直线 $l_{1} / / l_{2}$ ，直线 $l_{3}$ 分别与 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 交于点 $A$ 、 $B$ .请用尺规作图法，在线段 $A B$ 上求作点 $P$ ，使点 $P$ 到 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法）

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18. 如图， $B D // A C$ ， $B D = B C$ ，点 $E$ 在 $B C$ 上，且 $B E = A C$ .求证： $∠ D = ∠ A B C$ .

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19. 一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等.求这种服装每件的标价.

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20. 从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6.

(1)、将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为；

(2)、将这四张扑克牌背面朝上，洗匀.从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张.请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的面数字恰好相同的概率.

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21. 一座吊桥的钢索立柱 $A D$ 两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示.小明和小亮想用测量知识测较长钢索 $A B$ 的长度，他们测得 $∠ A B D$ 为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现 $∠ A C D$ 恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m.已知点B、C、D共线， $A D ⊥ B D$ .求钢索 $A B$ 的长度.（结果保留根号）

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22. 今年9月，第十四届全国运动会将在陕西省举行本届全运会主场馆在西安，开幕式、闭幕式均在西安举行.某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平均气温状况.他们收集了西安市近五年9月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图：

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、这60天的日平均气温的中位数为，众数为；

(2)、求这60天的日平均气温的平均数；

(3)、若日平均气温在18℃~21℃的范围内（包含18℃和21℃）为“舒适温度”.请预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数.

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23. 在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回“鼠”、“猫”距起点的距离 $y (m)$ 与时间 $x (\min)$ 之间的关系如图所示.

(1)、在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是 $m / \min$ ；

(2)、求 $A B$ 的函数表达式；

(3)、求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间.

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24. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点E、F在 $⊙ O$ 上，且 $\overset{⌢}{B F} = 2 \overset{⌢}{B E}$ ，连接 $O E$ 、 $A F$ ，过点 $B$ 作 $⊙ O$ 的切线，分别与 $O E$ 、 $A F$ 的延长线交于点C、D.

(1)、求证： $∠ C O B = ∠ A$ ；

(2)、若 $A B = 6$ ， $C B = 4$ ，求线段 $F D$ 的长.

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25. 已知抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 8$ 与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧），与y轴交于点C.

(1)、求点B、C的坐标；

(2)、设点 $C^{'}$ 与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使 $△ P C C^{'}$ 与 $△ P O B$ 相似且 $P C$ 与 $P O$ 是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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26. 如图

(1)、问题提出
如图1，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A = 45 °$ ， $A B = 8$ ， $A D = 6$ ，E是 $A D$ 的中点，点F在 $D C$ 上且 $D F = 5$ 求四边形 $A B F E$ 的面积.（结果保留根号）

(2)、问题解决
某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境.如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园 $A B C D E$ 按设计要求，要在五边形河畔公园 $A B C D E$ 内挖一个四边形人工湖 $O P M N$ ，使点O、P、M、N分别在边 $B C$ 、 $C D$ 、 $A E$ 、 $A B$ 上，且满足 $B O = 2 A N = 2 C P$ ， $A M = O C$ .已知五边形 $A B C D E$ 中， $∠ A = ∠ B = ∠ C = 90 °$ ， $A B = 800 m$ ， $B C = 1200 m$ ， $C D = 600 m$ ， $A E = 900 m$ .满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小.请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖 $O P M N$ ？若存在，求四边形 $O P M N$ 面积的最小值及这时点 $N$ 到点 $A$ 的距离；若不存在，请说明理由.

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$x$	…	-2	0	1	3	…
$y$	…	6	-4	-6	-4	…