湖南省长沙市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 下列四个实数中，最大的数是（）

A、-3 B、-1 C、 $π$ D、4

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2. 2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为10040000人，将数据10040000用科学记数法表示为（）

A、 $1.004 \times 10^{6}$ B、 $1.004 \times 10^{7}$ C、 $0.1004 \times 10^{8}$ D、 $10.04 \times 10^{6}$

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3. 下列几何图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{5}$ B、 $2 a + 3 a = 6 a$ C、 $a^{8} \div a^{2} = a^{4}$ D、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$

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5. 如图， $A B // C D$ ， $E F$ 分别与 $A B$ ， $C D$ 交于点 $G$ ， $H$ ， $∠ A G E = 100 °$ ，则 $∠ D H F$ 的度数为（）

A、 $100 °$ B、 $80 °$ C、 $50 °$ D、 $40 °$

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6. 如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在⊙O上， $∠ B A C = 54 °$ ，则 $∠ B O C$ 的度数为（）

A、 $27 °$ B、 $108 °$ C、 $116 °$ D、 $128 °$

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7. 下列函数图象中，表示直线 $y = 2 x + 1$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是（）

A、24，25 B、23，23 C、23，24 D、24，24

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9. 有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数.将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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10. 在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）.他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17.根据以上信息，下列判断正确的是（）

A、戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9 B、丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 C、丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4 D、甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9.

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二、填空题

11. 分解因式： $x^{2} - 2021 x =$ .

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12. 如图，在⊙O中，弦 $A B$ 的长为4，圆心 $O$ 到弦 $A B$ 的距离为2，则 $∠ A O C$ 的度数为.

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13. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是边 $A B$ 的中点，若 $O E = 6$ ，则 $B C$ 的长为.

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14. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - k x - 12 = 0$ 的一个根为3，则 $k$ 的值为.

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $D E ⊥ A B$ ，垂足为 $E$ ，若 $B C = 4$ ， $D E = 1.6$ ，则 $B D$ 的长为.

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16. 某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动.先从中随机抽取了部分作品，按 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图.那么，此次抽取的作品中，等级为 $B$ 等的作品份数为.

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三、解答题

17. 计算： $| - \sqrt{2} | - 2 \sin 45 ° + {(1 - \sqrt{3})}^{0} + \sqrt{2} \times \sqrt{8}$ .

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18. 先化简，再求值： ${(x - 3)}^{2} + (x + 3) (x - 3) + 2 x (2 - x)$ ，其中 $x = - \frac{1}{2}$ .

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19. 人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：

已知： $△ A B C$ .

求作： $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，使得 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ≌ $△ A B C$ .

作法：如图.

（ 1 ）画 $B^{'} C^{'} = B C$ ；

（ 2 ）分别以点 $B^{'}$ ， $C^{'}$ 为圆心，线段 $A B$ ， $A C$ 长为半径画弧，两弧相交于点 $A^{'}$ ；

（ 3 ）连接线段 $A^{'} B^{'}$ ， $A^{'} C^{'}$ ，则 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 即为所求作的三角形.

请你根据以上材料完成下列问题：

(1)、完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：

证明：由作图可知，在 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 和 $△ A B C$ 中，

${\begin{array}{l} B^{'} C^{'} = B C ， \\ A^{'} B^{'} =_____， \\ A^{'} C^{'} =_____， \end{array}$

∴ $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ≌_▲_.

(2)、这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是.（填序号）

①AAS；②ASA；③SAS；④SSS

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20. “网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市.本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物.据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个.

(1)、求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；

(2)、请你估计纸箱中白球的数量接近多少？

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21. 如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $△ O A B$ 是等边三角形， $A B = 4$ .

(1)、求证： $▱ A B C D$ 是矩形；

(2)、求 $A D$ 的长.

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22. 为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分.

(1)、若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？

(2)、若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，垂足为 $D$ ， $B D = C D$ ，延长 $B C$ 至 $E$ ，使得 $C E = C A$ ，连接 $A E$ .

(1)、求证： $∠ B = ∠ A C B$ ；

(2)、若 $A B = 5$ ， $A D = 4$ ，求 $△ A B E$ 的周长和面积.

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24. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于 $y$ 轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于 $y$ 轴对称的不同两点叫做一对“T点”.根据该约定，完成下列各题.

(1)、若点 $A (1 ， r)$ 与点 $B (s ， 4)$ 是关于 $x$ 的“T函数” $y = {\begin{array}{l} - \frac{4}{x} (x < 0) ， \\ t x^{2} (x \geq 0 ， t \neq 0 ， t 是常数) . \end{array}$ 的图象上的一对“T点”，则 $r =$ ， $s =$ ， $t =$ （将正确答案填在相应的横线上）；

(2)、关于 $x$ 的函数 $y = k x + p$ （ $k$ ， $p$ 是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”；如果不是，请说明理由；

(3)、若关于 $x$ 的“T函数” $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a > 0$ ，且 $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数）经过坐标原点 $O$ ，且与直线 $l ： y = m x + n$ （ $m \neq 0$ ， $n > 0$ ，且 $m$ ， $n$ 是常数）交于 $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ 两点，当 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 ${(1 - x_{1})}^{- 1} + x_{2} = 1$ 时，直线 $l$ 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由.

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25. 如图，点 $O$ 为以 $A B$ 为直径的半圆的圆心，点 $M$ ， $N$ 在直径 $A B$ 上，点 $P$ ， $Q$ 在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，四边形 $M N P Q$ 为正方形，点 $C$ 在 $\overset{⌢}{Q P}$ 上运动（点 $C$ 与点 $P$ ， $Q$ 不重合），连接 $B C$ 并延长交 $M Q$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $A C$ 交 $M Q$ 于点 $E$ ，连接 $O Q$ .

(1)、求 $\sin ∠ A O Q$ 的值；

(2)、求 $\frac{A M}{M N}$ 的值；

(3)、令 $M E = x$ ， $Q D = y$ ，直径 $A B = 2 R$ （ $R > 0$ ， $R$ 是常数），求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并指明自变量 $x$ 的取值范围.

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