湖南省岳阳市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 在实数 $\sqrt{3}$ ，-1，0，2中，为负数的是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、-1 C、0 D、2

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2. 下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算结果正确的是（）

A、 $3 a - a = 2$ B、 $a^{2} \cdot a^{4} = a^{8}$ C、 $(a + 2) (a - 2) = a^{2} - 4$ D、 ${(- a)}^{2} = - a^{2}$

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4. 已知不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 < 0 \\ 2 x \geq - 4 \end{array}$ ，其解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线 $a / / b$ ，则 $∠ 1$ 的大小为（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $75 °$ D、 $105 °$

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6. 下列命题是真命题的是（）

A、五边形的内角和是 $720 °$ B、三角形的任意两边之和大于第三边 C、内错角相等 D、三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点

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7. 在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0，9.2，9.0，8.8，9.0（单位：分），这五个有效评分的平均数和众数分别是（）

A、9.0，8.9 B、8.9，8.9 C、9.0，9.0 D、8.9，9.0

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8. 定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图，在正方形 $O A B C$ 中，点 $A (0 ， 2)$ ，点 $C (2 ， 0)$ ，则互异二次函数 $y = {(x - m)}^{2} - m$ 与正方形 $O A B C$ 有交点时 $m$ 的最大值和最小值分别是（）

A、4，-1 B、 $\frac{5 - \sqrt{17}}{2}$ ，-1 C、4，0 D、 $\frac{5 + \sqrt{17}}{2}$ ，-1

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二、填空题

9. 因式分解： $x^{2} + 2 x + 1 =$ .

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10. 2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹.据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000用科学记数法表示为.

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11. 一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为.

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12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 6 x + k = 0$ 有两个相等的实数根，则实数 $k$ 的值为.

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13. 要使分式 $\frac{5}{x - 1}$ 有意义，则x的取值范围为．

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14. 已知 $x + \frac{1}{x} = \sqrt{2}$ ，则代数式 $x + \frac{1}{x} - \sqrt{2} =$ .

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15. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高 $A B$ 为 $x$ 尺，根据题意，可列方程为.

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B$ 的垂直平分线分别交 $A B$ 、 $A C$ 于点 $D$ 、 $E$ ， $B E = 8$ ， $⊙ O$ 为 $△ B C E$ 的外接圆，过点 $E$ 作 $⊙ O$ 的切线 $E F$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，则下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）
① $A E = B E$ ；② $∠ A E D = ∠ C B D$ ；③若 $∠ D B E = 40 °$ ，则 $\overset{⌢}{D E}$ 的长为 $\frac{8 π}{9}$ ；④ $\frac{D F}{E F} = \frac{E F}{B F}$ ；⑤若 $E F = 6$ ，则 $C E = 2.24$ .

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三、解答题

17. 计算： ${(- 1)}^{2021} + | - 2 | + 4 \sin 30 ° - {(\sqrt[3]{8} - π)}^{0}$ .

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18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A E ⊥ B D$ ， $C F ⊥ B D$ ，垂足分别为点 $E$ ， $F$ .

(1)、请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形 $A E C F$ 为平行四边形，你添加的条件是；

(2)、添加了条件后，证明四边形 $A E C F$ 为平行四边形.

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19. 如图，已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 与正比例函数 $y = 2 x$ 的图象交于 $A (1 ， m)$ ， $B$ 两点.

(1)、求该反比例函数的表达式；

(2)、若点 $C$ 在 $x$ 轴上，且 $△ B O C$ 的面积为3，求点 $C$ 的坐标.

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20. 国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理.某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间

t

（单位：

h

）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：

组别	睡眠时间分组	频数	频率
$A$	$t < 6$	4	0.08
$B$	$6 \leq t < 7$	8	0.16
$C$	$7 \leq t < 8$	10	$a$
$D$	$8 \leq t < 9$	21	0.42
$E$	$t \geq 9$	$b$	0.14

请根据图表信息回答下列问题：

(1)、频数分布表中，

a =

，

b =

；

(2)、扇形统计图中，

C

组所在扇形的圆心角的度数是

°

；

(3)、请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；

(4)、研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率.请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议.

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21. 星期天，小明与妈妈到离家 $16 km$ 的洞庭湖博物馆参观.小明从家骑自行车先走， $1 h$ 后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达.已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4倍，求妈妈开车的平均速度.

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22. 某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥，如图，该河旁有一座小山，山高 $B C = 80 m$ ，坡面 $A B$ 的坡度 $i = 1 ： 0.7$ （注：从山顶 $B$ 处测得河岸 $E$ 和对岸 $F$ 的俯角分别为 $∠ D B E = 45 °$ ， $∠ D B F = 31 °$ .

（参考数据： $\sin 31 ° \approx 0.52$ ， $\cos 31 ° \approx 0.86$ ， $\tan 31 ° \approx 0.60$ ）

(1)、求山脚 $A$ 到河岸 $E$ 的距离；

(2)、若在此处建桥，试求河宽 $E F$ 的长度.（结果精确到 $0.1 m$ ）

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23. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的中点，连接 $C D$ ，将线段 $C D$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $α (60 ° < α < 120 °)$ 得到线段 $E D$ ，且 $E D$ 交线段 $B C$ 于点 $G$ ， $∠ C D E$ 的平分线 $D M$ 交 $B C$ 于点 $H$ .

(1)、如图1，若 $α = 90 °$ ，则线段 $E D$ 与 $B D$ 的数量关系是， $\frac{G D}{C D} =$ ；

(2)、如图2，在（1）的条件下，过点 $C$ 作 $C F / / D E$ 交 $D M$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ ， $B E$ .
①试判断四边形 $C D E F$ 的形状，并说明理由；

②求证： $\frac{B E}{F H} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ；

(3)、如图3，若 $A C = 2$ ， $\tan (α - 60 °) = m$ ，过点 $C$ 作 $C F / / D E$ 交 $D M$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ ， $B E$ ，请直接写出 $\frac{B E}{F H}$ 的值（用含 $m$ 的式子表示）.

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24. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 经过 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $B C$ .

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、如图2，直线 $l$ ： $y = k x + 3$ 经过点A，点 $P$ 为直线 $l$ 上的一个动点，且位于 $x$ 轴的上方，点 $Q$ 为抛物线上的一个动点，当 $P Q / / y$ 轴时，作 $Q M ⊥ P Q$ ，交抛物线于点 $M$ （点 $M$ 在点 $Q$ 的右侧），以 $P Q$ ， $Q M$ 为邻边构造矩形 $P Q M N$ ，求该矩形周长的最小值；

(3)、如图3，设抛物线的顶点为 $D$ ，在（2）的条件下，当矩形 $P Q M N$ 的周长取最小值时，抛物线上是否存在点 $F$ ，使得 $∠ C B F =$ $∠ D Q M$ ？若存在，请求出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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