湖南省衡阳市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-06-24 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 8的相反数是（）

A、 -8 B、8 C、 $- \frac{1}{8}$ D、±8

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2. 2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利.现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫.数98990000用科学记数法表示为（）

A、 $98.99 \times 10^{6}$ B、 $9.899 \times 10^{7}$ C、 $9899 \times 10^{4}$ D、 $0.09899 \times 10^{8}$

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3. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列运算结果为 $a^{6}$ 的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3}$ B、 $a^{12} \div a^{2}$ C、 ${(a^{3})}^{2}$ D、 ${(\frac{1}{2} a^{3})}^{2}$

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{16} = \pm 4$ B、 ${(- 2)}^{0} = 1$ C、 $\sqrt{2} + \sqrt{5} = \sqrt{7}$ D、 $\sqrt[3]{9} = 3$

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6. 为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛.某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92.关于这组数据，下列说法错误的是（）

A、众数是82 B、中位数是84 C、方差是84 D、平均数是85

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7. 如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（）.

A、 B、 C、 D、

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8. 如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯 $A B$ 的倾斜角为 $37 °$ ，大厅两层之间的距离 $B C$ 为6米，则自动扶梯 $A B$ 的长约为（ $\sin 37 ° \approx 0.6 ， \cos 37 ° \approx 0.8 ， \tan 37 ° \approx 0.75$ ）（）.

A、7.5米 B、8米 C、9米 D、10米

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9. 下列命题是真命题的是（）.

A、正六边形的外角和大于正五边形的外角和 B、正六边形的每一个内角为 $120 °$ C、有一个角是 $60 °$ 的三角形是等边三角形 D、对角线相等的四边形是矩形

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10. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 < 0 \\ - 2 x \leq 6 \end{array}$ 的解集在数轴上可表示为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 下列说法正确的是（）

A、为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式 B、某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖 C、从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是 $\frac{3}{4}$ D、某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人

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12. 如图，矩形纸片 $A B C D ， A B = 4 ， B C = 8$ ，点M、N分别在矩形的边 $A D$ 、 $B C$ 上，将矩形纸片沿直线 $M N$ 折叠，使点C落在矩形的边 $A D$ 上，记为点P，点D落在G处，连接 $P C$ ，交 $M N$ 于点Q，连接 $C M$ .下列结论：①四边形 $C M P N$ 是菱形；②点P与点A重合时， $M N = 5$ ；③ $△ P Q M$ 的面积S的取值范围是 $4 \leq S \leq 5$ .其中所有正确结论的序号是（）

A、①②③ B、①② C、①③ D、②③

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二、填空题

13. 要使二次根式 $\sqrt{x - 3}$ 有意义，则x的取值范围是．

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14. 计算： $\frac{a - 1}{a} + \frac{1}{a}$ =

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15. 因式分解： $3 a^{2} - 9 a b =$ .

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16. 底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为.（结果保留 $π$ ）

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17. “绿水青山就是金山银山”.某地为美化环境，计划种植树木6000棵.由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务.则实际每天植树棵.

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18. 如图1，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.点P的运动路线为 $O - A - D - O$ ，点Q的运动路线为 $O - C - B - O$ .设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在 $A - D$ 段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为厘米.

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三、解答题

19. 计算： ${(x + 2 y)}^{2} + (x - 2 y) (x + 2 y) + x (x - 4 y)$ .

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20. 如图，点A、B、D、E在同一条直线上， $A B = D E ， A C // D F ， B C // E F$ .求证： $△ A B C ≌ △ D E F$ .

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21. “垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾.某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示.

(1)、图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是度；

(2)、据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元.若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？

(3)、为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛.甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率.

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22. 如图，点E为正方形 $A B C D$ 外一点， $∠ A E B = 90 °$ ，将 $R t △ A B E$ 绕A点逆时针方向旋转 $90 °$ 得到 $△ A D F ， D F$ 的延长线交 $B E$ 于H点.

(1)、试判定四边形 $A F H E$ 的形状，并说明理由；

(2)、已知 $B H = 7 ， B C = 13$ ，求 $D H$ 的长.

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23. 如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为 $x cm$ ，单层部分的长度为 $y cm$ .经测量，得到下表中数据.

双层部分长度 $x (cm)$

2

8

14

20

单层部分长度 $y (cm)$

148

136

124

112

(1)、根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；

(2)、按小文的身高和习惯，背带的长度调为 $130cm$ 时为最佳背带长.请计算此时双层部分的长度；

(3)、设背带长度为 $L cm$ ，求L的取值范围.

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24. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，D为 $⊙ O$ 上一点，E为 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点，点C在 $B A$ 的延长线上，且 $∠ C D A = ∠ B$ .

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $D E = 2 ， ∠ B D E = 30 °$ ，求 $C D$ 的长.

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25. 如图， $△ O A B$ 的顶点坐标分别为 $O (0 ， 0) ， A (3 ， 4) ， B (6 ， 0)$ ，动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动.过点Q作 $M N // O B$ 分别交 $A O$ 、 $A B$ 于点M、N，连接 $P M$ 、 $P N$ .设运动时间为t（秒）.

(1)、求点M的坐标（用含t的式子表示）；

(2)、求四边形 $M N B P$ 面积的最大值或最小值；

(3)、是否存在这样的直线l，总能平分四边形 $M N B P$ 的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由；

(4)、连接 $A P$ ，当 $∠ O A P = ∠ B P N$ 时，求点N到 $O A$ 的距离.

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26. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”.例如 $(1 ， 1) ， (2021 ， 2021)$ ……都是“雁点”.

(1)、求函数 $y = \frac{4}{x}$ 图象上的“雁点”坐标；

(2)、若抛物线 $y = a x^{2} + 5 x + c$ 上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）.当 $a > 1$ 时.
①求c的取值范围；

②求 $∠ E M N$ 的度数；

(3)、如图，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 上一点，连接 $B P$ ，以点P为直角顶点，构造等腰 $R t △ B P C$ ，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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双层部分长度 $x (cm)$	2	8	14	20
单层部分长度 $y (cm)$	148	136	124	112